타원

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두 점 F1과 F2를 초점으로 갖는 타원.
원뿔평면으로 잘라 얻은 타원.

타원(楕圓)은 평면 위의 두 정점에서 거리이 일정한 들의 집합으로 만들어지는 곡선이다. 타원을 정의하는 기준이 되는 두 정점을 타원의 초점이라고 한다.[1] 타원 상에서 두 개의 초점으로부터의 거리가 같은 두 점을 잇는 선분을 단축(짧은 축)이라고 하며, 두 개의 초점으로부터의 거리의 차가 최대인 두점을 잇는 선분을 타원의 장축(긴 축)이라고 한다. 또한, 단축의 반을 짧은반지름, 장축의 반은 긴반지름이라고 한다. 두 초점이 가까울 수록 타원은 에 가까워지며, 두개의 초점이 일치했을 때의 타원은 원이 된다. 따라서 원은 타원의 특수한 경우라고 생각할 수 있다.[1]

타원은 원뿔을 잘라 만들 수 있는 원뿔 곡선 가운데 하나인 폐곡선이다. 오른쪽의 그림과 같이 원뿔을 평면으로 자르면 타원이 생긴다.[2]

천문학에서는 행성공전 궤도태양을 두 초점 가운데 하나로 하는 타원이라는 것을 발견하였다.

타원의 작도[편집]

위의 정의를 따르면 두 개의 초점에 실을 고정해, 실을 팽팽하게 유지하면서 필기구를 실에 걸쳐서 움직여서 그릴 수 있다. 이 외, 타원 컴퍼스, 타원 템플릿등을 사용하여 작도할 수 있다.

타원의 방정식[편집]

2차원 직교좌표계에서 원점 O가 타원의 장축과 단축의 교점이며, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때의 타원의 방정식은 다음과 같이 간단히 표현된다.

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

장축이 x축과 일치할 때, 2 a는 타원의 장축의 길이, 2 b는 단축의 길이가 된다. 같은 타원을 호도각에 따른 매개변수 t로 나타내면 다음과 같다.

x = a\,\cos t
y = b\,\sin t
0 \leq t < 2\pi

x축으로 α만큼, y축으로 β만큼 평행이동한 타원의 방정식은 다음과 같다.

\frac{(x-\alpha)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-\beta)^{2}}{b^{2}} = 1

타원의 넓이[편집]

긴반지름이 a이고 짧은반지름이 b인 타원의 넓이는 ab \pi이다. 타원의 넓이는 다음과 같이 생각하여 계산할 수 있다.

표준 타원 방정식 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1y에 대하여 변환하면,

y=\pm \sqrt{b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) } = \pm \frac ba \sqrt{a^2-x^2}

한편, y = \pm \sqrt{a^2-x^2} 는 반지름이 a의 방정식  x^2 + y^2 = a^2동치이고, 반지름이 a인 원의 넓이는  a^2 \pi 이므로, 타원의 넓이는  \frac ba \cdot a^2 \pi = ab \pi

이심률[편집]

타원이 찌그러진 정도를 나타내는 이심률  E=\frac {c} {a} 는 다음과 같이 정의된다.

E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

은 이심률이 0인 경우이고, 이심률이 작을 수록 원에 가깝다.

타원의 성질[편집]

한 초점에서 출발한 빛이 진행하다가 타원의 어느 한점을 만나면 이때 빛은 페르마의 최소 시간 원리를 따르므로 타원에서 반사되고 그 후 빛은 타원의 다른 초점을 지난다. 또한, 타원의 외부에서 한 초점을 향해 진행하던 빛이 타원의 어느 한 점과 만나면 그 빛은 이 점과 다른 초점을 연결한 직선을 따라 반사된다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 정달영 신선호 박은순, 《쉬운 미분 적분학》, 숭실대학교출판부, 2009년, ISBN 97-88974-50-235-5, 70쪽
  2. Review of Conic sections, Thomson Brooks-Cole