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수학에서, (合, 영어: sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 합의 표기에는 시그마의 모양을 딴 대형 연산자 가 쓰인다.

정의[편집]

유한 수열 (유한)합((有限)合, 영어: (finite) sum)은 이 수들을 모두 더하여 얻는 값이며, 이를 다음과 같이 표기한다.

보다 일반적으로, 유한 집합 에 대하여, 수들로 구성된 유한족 의 합 역시 이 수들을 모두 더하여 얻는 값이며, 그 표기법은 다음과 같다.

또한, 성질 를 만족시키는 대상의 개수가 유한할 경우, 이러한 대상을 첨수로 하는, 수들의 유한족 의 합 역시 정의할 수 있으며, 다음과 같다.

위 세 공식에서 각각 가장 왼쪽의 하나만이 엄밀한 표기법이며, 남은 것들은 일부 조건을 생략한 표기법이다.

성질[편집]

항등식[편집]

합의 표기에 시그마를 사용할 수 있는 이유는 덧셈의 결합 법칙에 있다. 즉, 합의 결과값이 괄호를 씌우는 방식과 무관하므로, 표기에서 이를 생략하여도 무방하다. 또한 덧셈의 교환 법칙이 성립하므로, 즉 합은 더하는 수를 쓰는 순서와 무관하므로, 수들의 합은 그 첨수 방식과 무관하다.

합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

  • 점화식: 이는 수들의 합의 정의로 삼을 수 있다.
  • 덧셈의 보존
  • 분배 법칙: 이를 덧셈의 보존과 합치면 합을 구하는 함수의 선형성을 얻는다.
  • 푸비니 정리

그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

부등식[편집]

실수들의 합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

  • 코시-슈바르츠 부등식

증명:

  • 횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.

증명:

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

  • 민코프스키 부등식

증명:

다음과 같은 를 취하자.

그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

[편집]

일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

다항식의 합[편집]

  • 상수열의 합
  • 등차수열의 합: 이를 삼각수라고 한다.
  • 제곱 합: 이를 사각뿔수(영어: square pyramidal number)라고 한다.

증명:

항등식 을 대입하면

위에서 아래로 항끼리 더하면

정리해주면

참고로, 이므로 이를 이용할 수도 있다.

자연수의 합 처럼, 수학적 귀납법, 도형을 응용한 증명 등 다양한 증명이 있다.

  • 세제곱 합: 이를 니코마코스 정리(영어: Nicomachus's theorem)라고 한다.
  • 네제곱 합

증명:

위의 제곱의 합의 증명과 비슷하게

임을 이용하여 할 수 있다. 즉, 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.

  • 다섯제곱 합
  • 거듭제곱 합: 이를 파울하버 공식(영어: Faulhaber's formula)이라고 한다. 여기서 번째 베르누이 수이다.

유리식의 합[편집]

  • 조화수열의 합: 이를 조화수라고 한다.

지수 함수의 합[편집]

  • 등비수열의 합
  • 등차-등비 수열의 합
  • 삼각 함수의 합: 이를 디리클레 핵(영어: Dirichlet kernel)이라고 한다.

이항 계수의 합[편집]

  • 이항 계수의 합
  • 하강 계승의 합

같이 보기[편집]