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(合)은 여러 수를 더하는 것, 또는 그 결과를 말한다.

수열의 합[편집]

수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호를 쓰며 기본적인 표기 양식은 다음과 같다.

이때 각각의 항목의 의미는 다음과 같다.

k : 변수를 의미한다. 다른 미지수 (i,j,r, ...)여도 상관 없다.

 : 로 이루어진 수열이 있다.

즉, Σ 기호 아래의 k=m 과 Σ 기호 위의 n : 수열 a_k에서 k자리에 m부터 n까지 (m과 n을 포함)자연수들을 차례로 대입하여 얻은 값들의 합

함수의 합[편집]

만약 함수f(x)의 을 구하는데에 Σ 를 사용한다면, 표기양식은 다음과 같다.

이때에도 함수 f(x)에 각각의 자연수를 대입한 각각의 항을 구해 그 총합을 구한다는 의미가 된다.

사용 예[편집]

다음 합을 고려해보자.

이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

이로부터, 다음과 같은 시그마(Σ)의 성질을 알 수 있다.

  1. (복부호 동순)
  2. (단, c는 상수)
  3. (단, c는 상수)
  4. 위의 식에서 m=1이면,
  5. = 단,

위 시그마의 성질에서, 시그마 상하의 값이 같음에 유의하라. 그리고, 일반적으로 다음은 성립하지 않음에 주의하라.

1 부터 n까지의 자연수의 합을 산출하고자 하는 경우[편집]

가 되고, 이 값의 계산은

가 된다.

예를 들어, 1부터 10 까지 자연수의 합의 경우, 위 공식에 의해

가 된다.

증명[편집]

위에서 아래로 더하면

그런데 (n+1)이 n개 있으므로

양변을 2로 나누면

또한, 수학적 귀납법, 도형을 응용한 증명 등 다양한 증명이 있다.

1 부터 n 까지, 각각의 자연수의 제곱의 합을 산출하고자 하는 경우[편집]

가 되고, 이 값의 계산은

가 된다.

예를 들어, 1부터 10 까지 각각의 자연수의 제곱의 합은,

가 된다.

증명[편집]

항등식 을 대입하면

위에서 아래로 항끼리 더하면

정리해주면

참고로, 이므로 이를 이용할 수도 있다.

자연수의 합 처럼, 수학적 귀납법, 도형을 응용한 증명 등 다양한 증명이 있다.

1 부터 n 까지, 각각의 자연수의 세제곱의 합을 산출하고자 하는 경우[편집]

가 되고, 이 값의 계산은

가 된다.

예를 들어, 1부터 10 까지 각각의 자연수의 세제곱의 합은,

가 된다.

공식에서, 임을 알 수 있다.

다른 유용한 공식들[편집]

(조화수열의 부분합 공식)
(m부터 n까지 자연수의 합 공식)
(1부터 n까지의 자연수 네제곱 합 공식)
(1부터 n까지의 자연수 p제곱 합 공식 (제곱, 세제곱, 네제곱 공식의 일반화)) (단, 베르누이 수 이다. 이 공식에 대한 자세한 증명과 설명은 Faulhaber's formula 문서를 참고하라.)
(등차수열의 합 공식) (단, )
(등비수열의 합 공식)
(등비수열 합 공식의 일반화)
(단, 즉, n개에서 k개를 뽑는 조합이다.)

같이 보기[편집]

  • 급수 - 무한 수열의 합.