사각뿔수

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4번째 피라미드 수 1+22+32+42=30는 위와 같은 사각뿔을 이루는 공의 수와 같다.

수학에서, 사각뿔수(영어: square pyramidal number)는 처음 몇 자연수의 제곱합을 나타내는 수이다. 사각뿔 모양으로 배열된 공의 수를 나타내며, 사각수부분합 수열을 이룬다.

정의[편집]

번째 (3차원) 사각뿔수 는 다음과 같이 정의된다.

증명:

항등식

을 대입하면 다음을 얻는다.

이들을 합하면 다음을 얻는다.

이를 정리하면 사각뿔수의 일반항을 얻는다.

처음 몇 사각뿔수는 (0번째 항부터 시작할 경우) 다음과 같다.

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ... (OEIS의 수열 A000330)

성질[편집]

항등식[편집]

다음과 같은 항등식이 성립한다.[1]

즉, 사각뿔수는 두 이웃하는 사면체수의 합과 같다. 이는 사각수가 두 이웃하는 삼각수의 합인 것과 유사하다.

다음과 같은 항등식이 성립한다.

즉, 사각뿔수는 (상수배를 무시하면) 짝수째 사면체수와 일치한다.

다음과 같은 항등식이 성립한다.

즉, 사각뿔수는 한 항을 사이에 둔 두 오포체수의 차와 같다.

생성 함수[편집]

사각뿔수의 생성 함수는 다음과 같다.

수론적 성질[편집]

삼각수인 사각뿔수와 이들의 사각뿔수로서의 번호는 정확히 각각 다음과 같다.

[0,] 1, 55, 91, 208335 (OEIS의 수열 A039596)
[0,] 1, 5, 6, 85 (OEIS의 수열 A053611)

제곱수인 사각뿔수는 0, 1, 4900이 유일하다. 이들은 각각 0, 1, 24번째 사각뿔수이다.

사각뿔수가 세제곱수 또는 네제곱수 또는 다섯제곱수인 경우는 0, 1뿐이다.

각주[편집]

  1. Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996). 《The Book of Numbers》 (영어). New York, NY: Copernicus. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-1-4612-8488-8. 

외부 링크[편집]