사각수

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사각수(四角數, square number)는 사각형 형태로 물건을 배치했을 때 사용되는 물건의 총 수가 되는 이다. 한편 제곱수는 자연수를 자신과 곱해서 얻어지는 자연수로, 이 두 개념은 정의상의 차이는 있지만 실제로는 동일하다.

예를 들어 4줄짜리 사각형을 만들 때 사용된 물건의 총 개수는 16개이므로, 16은 사각수이다.

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가장 작은 사각수부터 써 보면 다음과 같다. (OEIS의 수열 A000290)

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400

n 번째의 사각수 N 은 식 N = n2으로 쓸 수 있으며, 1부터 2n - 1까지 n개의 홀수의 합과 같다. 이 관계는 다음과 같은 그림에서 직관적으로 이해할 수 있다.

Square number 1 with gnomon.svg Square number 4 with gnomon.svg Square number 9 with gnomon.svg Square number 16 with gnomon.svg
0 + \color{blue}1 \color{black}= 1 1 + \color{blue}3 \color{black}= 4 4 + \color{blue}5 \color{black}= 9 9 + \color{blue}7 \color{black}= 16

라그랑주의 정리에 따르면, 모든 자연수는 최대 4개의 사각수의 합으로 표현이 가능하다.

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