정사각수

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정사각수(正四角數, 영어: square number)는 사각형 형태로 물건을 배치했을 때 사용되는 물건의 총 수가 되는 이다. 한편 제곱수는 자연수를 자신과 곱해서 얻어지는 자연수로, 이 두 개념은 정의상의 차이는 있지만 실제로는 동일하다.

예를 들어 4줄짜리 사각형을 만들 때 사용된 물건의 총 개수는 16개이므로, 16은 정사각수이다.

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가장 작은 정사각수부터 써 보면 다음과 같다. (OEIS의 수열 A000290)

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400

n 번째의 정사각수 N 은 식 N = n2으로 쓸 수 있으며, 1부터 2n - 1까지 n개의 홀수의 합과 같다. 이 관계는 다음과 같은 그림에서 직관적으로 이해할 수 있다.

Square number 1 with gnomon.svg Square number 4 with gnomon.svg Square number 9 with gnomon.svg Square number 16 with gnomon.svg

라그랑주의 네 제곱수 정리에 따르면, 모든 자연수는 최대 4개의 정사각수의 합으로 표현이 가능하다.

피라미드수[편집]

정사각수의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 피라미드를 이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 피라미드수라고 한다.

피라미드수는 제1 정사각수에서부터 제 정사각수까지의 합이고, 그 값 은 다시 으로 쓸 수 있다.

피라미드수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...

피라미드수와 사면체수는 서로 밀접한 연관이 있다. 한 예로, 이웃한 두 사면체수를 더하면 피라미드수가 된다. 사면체수는 1, 4, 10, 20, 35, 56, .. 등이 있는데, 1+4=5, 4+10=14처럼 이웃한 두 사면체수의 합은 정확히 피라미드수가 된다. n번째 사면체수를 , n번째 피라미드수를 라고 하고 이 공식을 일반화하면 가 된다. 이 공식은 피라미드수와 사면체수의 공식을 가지고 계산하면 왜 그런지 금방 알 수 있다.

같이 보기[편집]