완전수

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수론에서 완전수(完全數)는 자기 자신을 제외한 양의 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다.

최초 네 개의 완전수는 6, 28, 496, 8128이다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

짝수 완전수[편집]

고대 그리스인들은 이들 네 개의 완전수밖에는 알지 못했다. 유클리드는 이들을 에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다는 것을 발견했다.

n = 2 일 때:   21 · (22 − 1) = 6
n = 3 일 때:   22 · (23 − 1) = 28
n = 5 일 때:   24 · (25 − 1) = 496
n = 7 일 때:   26 · (27 − 1) = 8128

이때 은 언제나 소수이지만 이 소수라고 2n − 1도 꼭 소수가 되지는 않는다. 2n − 1이 소수일 때는 이를 메르센 소수라고 부른다. 마랭 메르센17세기정수론과 완전수를 연구한 수도승이었다.

즉, 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다는 것이 밝혀졌다.

모든 짝수 완전수가 꼴이므로, 모든 짝수 완전수는 연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31


메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않다.

홀수 완전수[편집]

Question mark2.svg 수학의 미해결 문제
홀수 완전수는 존재하는가?
(더 많은 수학의 미해결 문제 보기)

홀수 완전수가 존재하는지는 아직 알려져 있지 않다.

만약 홀수 완전수가 존재한다면 그 수는 다음 조건을 만족한다.

  • 2012년에 출판된 논문에 따르면 N > 101500이다.[1]
  • N은 105로 나누어떨어지지 않는다.
  • N은 N≡1(mod 12)의 형태를 띤다.
  • N
의 형태를 띠며,
  • qp1, ..., pk 는 구별된 소수이다.(Euler).
  • q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).
  • N의 가장 작은 소인수는(2k + 8) / 3보다 작다.[2]
  • qα > 1062, 또는 어떤 j에 대해 p j2ej  > 1062 이다.[1]
  • N < 24k+1.[3]
  • N의 가장 큰 소인수는 108보다 크다.[4]
  • 두 번째로 큰 소인수는 104보다, 세 번째로 큰 소인수는 100보다 크다.[5][6]
  • N은 101개 이상의 소인수로 분해되며, 적어도 9개의 서로 다른 소인수를 갖는다. 3이 소인수가 아니라면 12개의 서로 다른 소인수를 갖는다.[1][7]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Ochem, P; Rao, M (2012). “Odd perfect numbers are greater than 101500 (PDF). 《Mathematics of Computation》. 2012년 2월 2일에 확인함. 
  2. Grün, O (1952). “Über ungerade vollkommene Zahlen”. 《Mathematische Zeitschrift》 55 (3): 353–354. doi:10.1007/BF01181133. 2011년 3월 30일에 확인함. 
  3. Nielsen, PP (2003). [An upper bound for odd perfect numbers “An upper bound for odd perfect numbers”] |url= 값 확인 필요 (도움말). 《Integers》 3: A14–A22. 2011년 3월 30일에 확인함. 
  4. Goto, T; Ohno, Y (2008). “Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 (PDF). 《Mathematics of Computation》 77 (263): 1859–1868. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. 2011년 3월 30일에 확인함. 
  5. Iannucci, DE (1999). “The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand” (PDF). 《Mathematics of Computation》 68 (228): 1749–1760. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. 2011년 3월 30일에 확인함. 
  6. Iannucci, DE (2000). “The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred” (PDF). 《Mathematics of Computation》 69 (230): 867–879. 2011년 3월 30일에 확인함. 
  7. Nielsen, PP (2007). “Odd perfect numbers have at least distinct prime factors” (PDF). 《Mathematics of Computation》 76 (260): 2109–2126. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. 2011년 3월 30일에 확인함.