수학의 미해결 문제 목록

수학의 미해결 문제 목록(영어: list of unsolved problems in mathematics)은 현재까지 해답이 알려지지 않은 주목할 만한 수학 문제들을 분야별로 정리한 목록이다. 미해결 문제는 대수학, 해석학, 기하학, 정수론, 조합론, 그래프 이론, 위상수학, 동역학계, 편미분 방정식, 수리논리학 등 수학의 여러 분야에 걸쳐 있으며, 하나의 문제가 둘 이상의 분야와 밀접하게 관련되는 경우도 많다.^[1]

이 목록은 수학의 모든 미해결 문제를 망라하는 것을 목적으로 하지 않으며, 널리 알려진 추측과 문제 목록, 전문 문헌에서 계속 미해결로 다루어지는 문제 가운데 대표적인 사례를 모은 것이다. 문제의 상태는 새로운 증명이나 반례, 부분 해결, 또는 주어진 공리계로부터의 독립성 증명에 따라 달라질 수 있다. 특히 힐베르트 문제, 란다우 문제, 밀레니엄 문제처럼 특정 수학자나 기관이 제시한 문제 목록은 수학 연구의 방향에 큰 영향을 주기도 하였다.

유명한 목록들

20세기 이후 여러 수학자와 기관이 중요한 미해결 문제를 모은 목록을 제시하였다. 다만 이러한 목록의 각 문제는 완전한 해결, 부분 해결, 다른 명제로의 환원, 공리계로부터의 독립성 판정 등 서로 다른 상태에 놓일 수 있으므로, “미해결 또는 부분 해결 문제 수”를 하나의 숫자로 세는 방식은 목록에 따라 모호할 수 있다.^[2]

목록	문제 수	제안자	제안 연도	비고
힐베르트 문제^[3]	23	다비트 힐베르트	1900	해결·부분 해결·독립성 판정 등이 섞여 있어 현재 상태를 단일 숫자로 나타내기 어렵다.^[2]
란다우 문제^[4]	4	에드문트 란다우	1912	네 문제 모두 미해결이다.
다니야마 문제^[5]	36	다니야마 유타카	1955	문제별 상태가 서로 다르다.
서스턴의 24개 질문들^[6]	24	윌리엄 서스턴	1982	문제별 상태가 서로 다르다.
스메일 문제^[7]	18	스티븐 스메일	1998	문제별로 해결 및 부분 해결이 이루어져 있다.
밀레니엄 문제	7	클레이 수학연구소	2000	푸앵카레 추측은 해결되었고, 클레이 수학연구소는 나머지 여섯 문제를 공식적으로 미해결로 분류하고 있다.^[8]
사이먼 문제^[9]	15	배리 사이먼	2000	슈뢰딩거 작용소에 관한 15개 문제로 이루어진다.
21세기 미해결 수학 문제^[10]	22	자이르 아베, 다나카 쇼타로	2001
DARPA 수학 문제^[11]	23	미국 방위고등연구계획국	2007

밀레니엄 문제

2000년에 클레이 수학연구소가 발표한 7개의 밀레니엄 문제 가운데 아래 여섯 문제는 현재 연구소가 미해결로 분류하고 있다.^[8]

P-NP 문제: 계산 복잡도 이론에서 답을 다항 시간에 검증할 수 있는 모든 결정 문제를 다항 시간에 풀 수도 있는가, 즉 $P=NP$ 인가?^[8]
호지 추측: 매끄러운 복소 사영 대수다양체의 유리수 계수 호지류는 모두 대수적 순환의 유리수 선형결합으로 표현되는가?^[8]
리만 가설: 리만 제타 함수의 모든 비자명한 영점은 실수부가 $1/2$ 인가?^[8]
양-밀스 질량 간극 가설: 4차원 양자 양-밀스 이론을 수학적으로 엄밀하게 구성할 수 있고, 그 이론에는 양의 질량 간극이 존재하는가?^[8]
나비에-스토크스 존재성과 매끄러움: 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 매끄러운 해에 대해 클레이 수학연구소가 제시한 전역 존재성 또는 유한시간 특이점에 관한 선택지 가운데 하나를 증명할 수 있는가?^[8]
버치-스위너턴다이어 추측: 유리수체 $\mathbb {Q}$ 위 타원곡선의 유리점 군의 랭크는 그 곡선의 $L$ -함수가 $s=1$ 에서 갖는 영점의 차수와 같은가?^[8]

2026년 9월 OpenAI는 나비에–스토크스 문제의 공식 선택지 (C)와 (D)를 증명한다고 주장하는 해법을 발표하였다. 이 증명이 옳다면 클레이 수학연구소가 제시한 나비에–스토크스 밀레니엄 문제의 해결에 해당한다.^[12]

7번째 문제인 푸앵카레 추측은 2002–2003년 그리고리 페렐만이 해결하였다.^[13] 일반화 푸앵카레 추측의 위상적 형태는 모든 차원에서 해결되었으나, 매끄러운 4차원 푸앵카레 추측은 여전히 미해결이다.^[14]

분야별 미해결 문제

아래의 분야 구분은 편의를 위한 것이다. 여러 분야에 걸쳐 연구되는 문제는 중복을 피하기 위해 주로 관련되는 한 분야에 배치하였다. 여기에는 고전적으로 널리 알려진 문제뿐 아니라 각 전문 분야의 장기적인 중심 문제도 포함한다.

대수학

아다마르 추측: 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $4n$ 차 아다마르 행렬이 존재하는가?^[15]

군론

역 갈루아 문제: 모든 유한군은 유리수체 $\mathbb {Q}$ 의 어떤 유한 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타나는가?^[16]
유한 표시 꼬임군 문제: 유한 개의 생성원과 관계식으로 표시할 수 있는 무한 꼬임군이 존재하는가?^[17]
Andrews–Curtis 추측: 자명군의 모든 균형 유한 표시를 Nielsen 변환과 관계식의 켤레화 같은 Andrews–Curtis 변환만으로 표준 표시로 바꿀 수 있는가?^[18]
Thompson 군 $F$ 의 amenability 문제: Thompson 군 $F$ 는 amenable인가?^[19]

환론과 표현론

Köthe 추측: 임의의 환에서 각 원소가 멱영인 두 왼쪽 아이디얼의 합은 다시 각 원소가 멱영인 아이디얼인가?^[20]
Kaplansky 영인자 추측: 임의의 체 $K$ 와 꼬임 없는 군 $G$ 에 대해 군환 $K[G]$ 에는 0이 아닌 영인자가 존재하지 않는가?^[21]
Finitistic dimension 추측: 모든 유한차원 대수에서 유한한 사영 차원을 갖는 유한 생성 가군들의 사영 차원에는 유한한 공통 상계가 존재하는가?^[22]

해석학

함수해석학과 작용소 이론

불변 부분공간 문제: 무한차원 분리 가능 복소 힐베르트 공간 위의 모든 유계 작용소는 $\{0\}$ 과 전체 공간이 아닌 닫힌 불변 부분공간을 갖는가?^[23]
Crouzeix 추측: 복소 정사각행렬 $A$ 와 그 수치범위 $W(A)$ 에 대해 모든 다항식 $p$ 가 $\|p(A)\|\leq 2\max _{z\in W(A)}|p(z)|$ 를 만족하는가?^[24]

복소해석학

Smale의 평균값 문제: 차수 $d\geq 2$ 인 복소수 계수 다항식 $f$ 과 $f'(z)\neq 0$ 인 복소수 $z$ 에 대해 $|f(z)-f(c)|\leq |f'(z)|\,|z-c|$ 를 만족하는 임계점 $c$ 가 항상 존재하는가?^[25]
란다우 상수 문제: 단위 원판에서 정의되고 $f'(0)=1$ 인 정칙함수의 상에 반드시 포함되는 원판의 반지름에 대한 보편적 하한인 란다우 상수의 정확한 값은 얼마인가?^[26]
블로흐 상수 문제: 정규화된 정칙함수가 어떤 부분영역을 단사적으로 사상하여 얻는 원판의 반지름에 대해 보장되는 최적 보편 하한인 블로흐 상수의 정확한 값은 얼마인가?^[27]
Brennan 추측: 단위 원판에서 평면의 단순연결 영역으로 가는 모든 등각사상 $f$ 에 대해 Brennan이 예측한 지수 범위에서 $f'\in L^{p}$ 인가?^[28]

조화해석학과 기하측도론

Kakeya 추측: $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 모든 방향의 단위 선분을 하나씩 포함하는 Kakeya 집합의 하우스도르프 차원은 항상 $n$ 인가? 3차원은 2025년에 해결되었으나 $n\geq 4$ 에서는 일반적으로 미해결이다.^[29]^[30]
Fourier restriction 추측: 매끄러운 곡면, 특히 구면에 대한 푸리에 변환의 제한 연산자는 예상되는 최적 $L^{p}\to L^{q}$ 범위에서 유계인가?^[29]
Bochner–Riesz 추측: 유클리드 공간의 Bochner–Riesz 평균은 예상되는 최적 지수 범위에서 $L^{p}$ 에서 유계인가?^[29]
Local smoothing 추측: 파동 방정식과 관련된 푸리에 적분 연산자에 대해 시간 방향으로 평균했을 때 예측되는 최적 차수의 국소 평활화 추정이 성립하는가?^[29]
Falconer 거리 추측: $\mathbb {R} ^{d}$ 의 집합 $E$ 의 하우스도르프 차원이 $d/2$ 보다 크면 거리집합 $\{|x-y|:x,y\in E\}$ 의 르베그 측도는 항상 양수인가?^[31]
1차원 Fuglede 추측: $\mathbb {R}$ 의 유한 측도 집합은 지수함수의 정규 직교 기저를 가질 때 그리고 그때에만 평행이동으로 공간을 타일링하는가? 2차원에 대해서는 2026년 반례를 주장하는 프리프린트가 발표되었지만, 1차원 문제는 여전히 미해결이다.^[32]^[33]
Pompeiu 문제: 경계가 충분히 매끄러운 유계 영역이 Pompeiu 성질을 갖지 않는다면 그 영역은 반드시 공인가?^[34]
플린트 힐스 급수 문제: 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}$ 은 수렴하는가?^[35]

편미분 방정식

3차원 오일러 방정식의 정칙성 문제: 경계가 없는 3차원 공간에서 매끄럽고 유한에너지인 초기값으로 시작한 비압축성 오일러 방정식의 고전해는 모든 시간 동안 매끄러운가, 아니면 유한시간 특이점이 생길 수 있는가?^[36]
상대론적 Vlasov–Maxwell 문제: 일반적인 충분히 매끄러운 초기값에 대해 맥스웰 방정식과 결합된 3차원 상대론적 Vlasov–Maxwell 계의 전역 고전해가 존재하는가?^[37]
3차원 이상적 MHD 정칙성 문제: 일반적인 매끄러운 초기값에 대해 3차원 비압축성 이상적 자기유체역학 방정식의 매끄러운 해는 모든 시간에 존재하는가?^[38]
Soliton resolution 추측: 에너지 임계 비선형 파동 방정식과 같은 분산형 방정식의 유계 에너지 해는 시간이 무한대로 갈 때 유한 개의 솔리톤과 분산성 복사 성분의 합으로 점근적으로 분해되는가? 방사 대칭이나 콤팩트 지지 등 여러 특별한 경우에는 알려져 있지만 일반적인 경우는 미해결이다.^[39]

기하학

대수기하학과 산술기하학

풍부성 추측: 극소 모형 프로그램에서 얻어지는 사영 극소 모형 $X$ 의 표준 약수 $K_{X}$ 가 nef이면 반풍부인가? 표면과 표수 0의 3차원에서는 알려져 있지만 고차원에서는 일반적으로 미해결이다.^[40]
Nakai 추측: 복소 대수다양체의 미분 연산자환이 함수와 미분으로 생성된다면 그 다양체는 매끄러운가?^[41]
MNOP 추측: 3차원 대수다양체의 곡선 열거 이론에서 그로모프-위튼 불변량과 Donaldson–Thomas·안정쌍 이론 사이의 대응은 descendent 삽입을 포함하는 일반적인 경우에도 성립하는가? descendent 삽입이 없는 형태를 포함한 넓은 경우는 증명되었지만 일반적인 descendent 대응은 미해결이다.^[42]
Manin 추측: 파노 다양체에서 예외적인 부분집합을 제외한 유리점의 수는 높이의 상한이 커질 때 예측된 점근식에 따르는가?^[43]
Weight–monodromy 추측: 비아르키메데스 국소체 위의 매끄러운 고유 대수다양체에서 모노드로미 여과와 코호몰로지의 무게 여과는 일치하는가? 여러 특별한 경우에는 증명되었지만 일반적인 경우는 미해결이다.^[44]
Bass 추측: $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ 위의 유한형 정칙 스킴 $X$ 에 대해 모든 대수적 $K$ -군 $K_{i}(X)$ 가 유한 생성 아벨 군인가?^[45]
Grothendieck 단면 추측: $\mathbb {Q}$ 위의 유한 생성 체 $k$ 와 그 위의 매끄러운 고유 쌍곡 곡선 $X$ 에 대해, $k$ -유리점과 에탈 기본군 완전열의 단면의 켤레류 사이의 자연스러운 대응은 전단사인가?^[46]
Virasoro 추측: 매끄러운 사영 대수다양체의 모든 종수에 대한 그로모프–위튼 descendent potential은 Virasoro 제약식을 만족하는가? 종수 0과 여러 특별한 경우에는 알려져 있지만 일반적인 형태는 미해결이다.^[47]
Zariski 중복도 추측: 두 복소 해석적 초곡면 특이점의 싹이 위상동형이면 그 중복도도 같은가?^[48]
야코비안 추측: 표수 0인 체 위의 다항식 사상 $F:k^{n}\to k^{n}$ 의 야코비안 행렬식이 0이 아닌 상수이면 $F$ 는 다항식 역함수를 갖는가? 2026년 $n\geq 3$ 에서 반례를 주장하는 프리프린트가 발표되었으나, 그 주장은 아직 일반적으로 확립된 결과로 취급되지 않으며 2차원 경우는 미해결이다.^[49]
테이트 추측: 유한체 위의 매끄러운 사영 대수다양체에서 갈루아 불변인 $\ell$ -진 코호몰로지류는 모두 대수적 순환의 류로 생성되는가?^[50]
Parshin 추측: 유한체 위의 매끄러운 사영 대수다양체 $X$ 에 대해 모든 $i\geq 1$ 에서 $K_{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$ 인가?^[51]
Grothendieck 표준 추측: 매끄러운 사영 대수다양체의 코호몰로지에서 나타나는 렙셰츠 분해와 양의 정부호성 등 예상되는 구조를 대수적 순환과 대응으로 모두 실현할 수 있는가?^[52]
Fröberg 추측: 일반 위치의 동차다항식들이 생성하는 아이디얼로 나눈 다항식환의 힐베르트 급수는 Fröberg가 예측한 최소 급수와 항상 같은가?^[53]
Hartshorne 추측: 사영 공간 $\mathbb {P} ^{r}$ 안의 매끄럽고 비퇴화인 사영 대수다양체 $X$ 의 차원이 여차원 $e$ 에 대해 $\dim X\geq 2e+1$ 이면 $X$ 는 완전교차인가? 이 문제는 여차원 2에서도 일반적으로 미해결이다.^[54]
Fujita 추측: $n$ 차원 매끄러운 사영 대수다양체 $X$ 와 풍부한 선다발 $L$ 에 대해 $K_{X}+(n+1)L$ 은 전역적으로 생성되고 $K_{X}+(n+2)L$ 은 매우 풍부한가?^[55]
양의 표수 특이점 해소 문제: 완전체 $k$ 의 표수가 $p>0$ 이고 $X$ 가 $k$ 위의 유한형 적분 대수다양체일 때, 정칙 대수다양체 $Y$ 와 $X$ 로 가는 고유 쌍유리 사상 $Y\to X$ 가 항상 존재하는가? 3차원까지는 알려져 있으나 4차원 이상은 일반적으로 미해결이며, 전 차원을 해결한다고 주장하는 원고들은 아직 확립된 정리로 받아들여지지 않았다.^[56]
Nagata 추측: $r\geq 10$ 개의 매우 일반적인 점을 각각 중복도 $m_{i}$ 로 지나는 차수 $d$ 의 평면곡선에 대해 $d{\sqrt {r}}\geq \sum _{i}m_{i}$ 가 항상 성립하는가?^[57]
Bloch–Beilinson 추측: 매끄러운 사영 다양체의 유리수 계수 Chow 군에는 대수적 순환 중 호몰로지적으로 자명한 순환과 모티브의 구조를 반영하는 표준적인 유한한 감소 여과가 존재하며, 이 여과는 당김·밂·곱·대응과 양립하는가?^[58]
Grothendieck 주기 추측: 대수다양체에서 얻어지는 주기 사이의 모든 대수적 관계는 대수기하학적 또는 모티브적 관계에서 유도되는가?^[59]
Bombieri–Lang 추측: 수체 위의 일반형 대수다양체에서 유리점들은 항상 Zariski 조밀하지 않은가?^[60]
Vojta 추측: 수체 위 대수다양체의 유리점에 대해 높이 함수와 근접 함수·계수 함수 사이에는 Roth 정리와 abc 추측 등을 포괄하는 Vojta의 예상 부등식이 성립하는가?^[61]
Zilber–Pink 추측: 반아벨 다양체나 Shimura 다양체와 같은 대수다양체에서 부분다양체가 예상 차원보다 큰 특수 부분다양체와 이루는 unlikely intersection 현상은 예측되는 특별한 기하적 원인으로 모두 설명되는가?^[62]
Bloch 추측: 매끄러운 복소 사영 곡면 $X$ 의 기하종수 $p_{g}$ 가 0이면 $CH_{0}(X)$ 의 Albanese 사상의 핵은 0인가? 2025년에 일반적인 경우를 증명했다고 주장하는 프리프린트가 발표되었지만 아직 확립된 정리로 간주되지 않는다.^[63]
힐베르트의 16번째 문제 제1부: 주어진 차수의 매끄러운 실수 평면 대수곡선의 실수 성분들은 실수 사영 평면에서 서로 어떤 위상적 배치를 가질 수 있는가? 가능한 배치의 완전한 분류는 낮은 차수에서도 미해결이다.^[2]

미분기하학

Hopf 추측: 양의 단면 곡률을 갖는 닫힌 짝수차원 리만 다양체의 오일러 지표는 항상 양수인가?^[64]
Yau 제1 고윳값 추측: 단위 구면 $S^{n+1}$ 에 닫혀 있고 매장된 최소 초곡면 $M^{n}$ 에 대한 라플라스–벨트라미 연산자의 첫 번째 고윳값은 항상 $n$ 인가? 2025년에 일반적인 경우를 증명했다고 주장하는 프리프린트가 있으나 2026년에 나온 동료평가를 거친 문헌에서도 일반 명제는 여전히 추측으로 다루어진다.^[65]^[66]
Cartan–Hadamard 등주 추측: 완비이고 단일연결이며 단면곡률이 0 이하인 $n$ 차원 리만 다양체에서는 유클리드 공간과 같은 최적 등주 부등식이 성립하는가? 4차원까지는 해결되어 있으나 고차원에서는 일반적으로 미해결이다.^[67]

볼록기하학

Mahler 부피곱 추측: 원점 대칭인 $n$ 차원 볼록체 $K$ 와 극체 $K^{\circ }$ 에 대해 $\operatorname {vol} (K)\operatorname {vol} (K^{\circ })\geq 4^{n}/n!$ 인가?^[68]
KLS 추측: 등방성 로그오목 확률분포의 Poincaré 상수는 차원과 무관한 보편 상수로 상계되는가?^[69]

덮기와 채우기 문제

입맞춤 수 문제: $n$ 차원 유클리드 공간에서 한 단위 구에 서로 겹치지 않는 같은 크기의 단위 구를 최대 몇 개까지 동시에 접하게 할 수 있는가? 정확한 값은 현재 1·2·3·4·8·24차원에서만 알려져 있다.^[70]
Erdős–Oler 추측: $n$ 이 삼각수일 때 $n-1$ 개의 단위 원을 넣는 데 필요한 최소 정삼각형의 한 변의 길이는 $n$ 개를 넣을 때 필요한 길이와 같은가?^[71]
구 채우기 문제: 각 차원의 유클리드 공간에서 서로 겹치지 않는 합동인 구들을 채울 수 있는 최대 밀도는 얼마인가? 정확한 최적 밀도는 1·2·3·8·24차원에서 알려져 있고 대부분의 다른 차원에서는 미해결이다.^[72]
정사각형 채우기 문제: 단위 정사각형 $n$ 개를 서로 겹치지 않게 넣을 수 있는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 얼마인가?^[73]

이산기하학

Levi–Hadwiger 추측: 임의의 $n$ 차원 볼록체를 자기 자신과 닮음이고 더 작은 $2^{n}$ 개의 볼록체로 덮을 수 있는가?^[73]
고본 삼각형 문제: 평면에 $n$ 개의 직선을 그어 만들 수 있는 유계 삼각형 영역의 최대 개수는 얼마인가?^[73]
Erdős–Szekeres 추측: 평면 위에 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 점이 $2^{n-2}+1$ 개 있으면 그 가운데 $n$ 개는 항상 볼록 $n$ 각형의 꼭짓점을 이루는가?^[74]
Erdős 거리 문제: 평면 위의 서로 다른 $n$ 개 점이 결정하는 서로 다른 거리의 개수는 최소 얼마인가?^[73]

유클리드 기하학

내접 정사각형 문제 또는 Toeplitz 추측: 임의의 조르당 곡선 위에서 꼭짓점 네 개를 골라 정사각형을 만들 수 있는가?^[73]
Moser의 벌레 문제: 길이가 1인 임의의 평면 곡선을 강체 이동하여 내부에 넣을 수 있는 평면 도형의 최소 넓이는 얼마인가?^[75]
Thomson 문제: 서로 반발하는 같은 크기의 전하 $n$ 개를 단위 구면 위에 놓을 때 위치 에너지를 최소화하는 배치는 무엇인가?^[73]

심플렉틱 기하학과 거울 대칭

Nearby Lagrangian 추측: 닫힌 다양체 $Q$ 의 여접다발 $T^{*}Q$ 안의 모든 닫힌 exact Lagrangian submanifold는 영단면과 Hamiltonian 동위인가?^[76]
Homological mirror symmetry 추측: 적절한 거울쌍을 이루는 심플렉틱 다양체와 복소 대수다양체에 대해 한쪽의 Fukaya 범주와 다른 쪽의 연접층 유도 범주는 동치인가? 다양한 계열에서 증명되었지만 일반적인 거울 대칭 프로그램은 미해결이다.^[77]

동역학계

콜라츠 추측: 임의의 양의 정수에서 시작하여 짝수이면 2로 나누고 홀수이면 $3n+1$ 로 바꾸는 연산을 반복하면 결국 1에 도달하는가?^[78]
MLC 추측: 망델브로 집합은 국소 연결인가?^[79]
힐베르트의 16번째 문제 제2부: 차수가 $n$ 이하인 평면 다항식 미분방정식이 가질 수 있는 극한 주기의 수에는 $n$ 만으로 정해지는 유한한 상계가 존재하며, 존재한다면 그 최적 상계는 얼마인가?^[80]

그래프 이론

Hadwiger 추측: 채색수가 $t$ 인 모든 유한 단순 그래프는 완전 그래프 $K_{t}$ 를 마이너로 포함하는가?^[81]
Hadwiger–Nelson 문제: 유클리드 평면에서 거리가 정확히 1인 두 점이 항상 서로 다른 색을 갖도록 칠하려면 최소 몇 가지 색이 필요한가? 현재 그 값은 5 이상 7 이하로 알려져 있다.^[82]
Harborth 추측: 모든 평면 그래프는 모든 변을 길이가 유리수인 직선분으로 그린 평면 매장을 갖는가? 4-정규 평면 그래프에 대해서는 증명되었지만 일반적인 경우는 미해결이다.^[83]
그래프 재구성 추측: 꼭짓점이 적어도 3개인 모든 유한 단순 그래프는 각 꼭짓점을 하나씩 삭제하여 얻은 부분그래프들의 중복집합이 원래 그래프의 동형류를 유일하게 결정하는가?^[84]
Erdős–Hajnal 추측: 고정된 그래프 $H$ 에 대해 $H$ 를 유도 부분그래프로 포함하지 않는 모든 $n$ 꼭짓점 그래프에는 크기가 $n^{\varepsilon (H)}$ 이상인 완전 부분그래프 또는 독립집합이 항상 존재하는가?^[85]
Sidorenko 추측: 모든 이분 그래프 $H$ 에 대해 주어진 변 밀도를 갖는 큰 그래프에서 $H$ 의 준동형 밀도는 같은 밀도의 무작위 그래프가 주는 값보다 항상 크거나 같은가?^[86]
Caccetta–Häggkvist 추측: 최소 진출 차수가 $r$ 인 $n$ 꼭짓점 유향 그래프에는 길이가 최대 $\lceil n/r\rceil$ 인 유향 순환이 항상 존재하는가?^[87]
Tutte 5-흐름 추측: 모든 2-변-연결 그래프는 0이 아닌 5-흐름을 갖는가?^[88]
Berge–Fulkerson 추측: 모든 다리 없는 3-정규 그래프에는 여섯 개의 완벽 부합이 존재하여 각 변이 정확히 두 부합에 포함되는가?^[89]
Graceful tree 추측: 변이 $m$ 개인 모든 나무의 꼭짓점에 $0,1,\ldots ,m$ 을 서로 다르게 붙여, 각 변의 양 끝점에 붙인 수의 차의 절댓값이 정확히 $1,2,\ldots ,m$ 이 되게 할 수 있는가?^[90]
Conway thrackle 추측: 평면에서 각 두 변이 정확히 한 번, 공통 끝점에서 만나거나 내부에서 교차하도록 그린 그래프는 변의 수가 꼭짓점 수보다 많을 수 없는가?^[91]

조합론

1/3–2/3 추측: 전순서 집합이 아닌 모든 유한 부분 순서 집합에는, 무작위 선형 확장에서 $x<y$ 일 확률이 $1/3$ 이상 $2/3$ 이하가 되는 두 원소 $x,y$ 가 존재하는가?^[92]
외로운 주자 추측: 길이가 1인 원형 트랙의 같은 지점에서 서로 다른 일정한 속도로 출발한 $n$ 명의 주자 각각에게, 다른 모든 주자와의 원 위 거리가 적어도 $1/(n+1)$ 이 되는 시각이 존재하는가?^[93]
No-three-in-line 문제: 어떤 세 점도 한 직선 위에 놓이지 않도록 $n\times n$ 격자 위에 놓을 수 있는 점의 최대 개수는 얼마인가?^[73]
Frankl 추측 또는 합집합 닫힌 집합족 추측: 합집합 연산에 대해 닫힌 모든 유한 집합족에는 전체 집합의 적어도 절반에 속하는 원소가 존재하는가?^[94]
램지 수 문제: $R(5,5)$ 의 정확한 값은 얼마인가?^[73]
van der Waerden 수 문제: 양의 정수 $r,k$ 에 대해 $\{1,\ldots ,N\}$ 을 임의의 $r$ 색으로 칠하면 같은 색의 길이 $k$ 인 등차수열이 반드시 생기게 하는 최소 $N=W(r,k)$ 은 얼마인가?^[73]
Ryser 추측: 모든 $r$ -분할 $r$ -균일 초그래프 $H$ 에 대해 횡단수 $\tau (H)$ 가 $(r-1)\nu (H)$ 이하인가? 여기서 $\nu (H)$ 는 최대 부합의 크기이다.^[95]
Erdős–Rado 해바라기 추측: 고정된 $k$ 에 대해 충분히 큰 $n$ -원소 집합족은 크기가 $c(k)^{n}$ 을 넘으면 항상 $k$ 개의 꽃잎을 갖는 해바라기를 포함하는가? 2026년 이를 해결한다고 주장하는 프리프린트가 발표되었다.^[96]
Erdős–Turán 등차수열 추측: 자연수 집합 $A$ 에 대해 $\sum _{n\in A}1/n$ 이 발산하면 $A$ 는 임의의 길이의 등차수열을 포함하는가?^[97]

정수론

초월수론과 디오판토스 근사

기본 상수의 무리수성 문제: 오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ , 카탈랑 상수, 킨친 상수는 각각 무리수인가?^[98]^[99]^[100]
네 지수 추측: $x_{1},x_{2}$ 가 $\mathbb {Q}$ 위에서 일차 독립이고 $y_{1},y_{2}$ 도 $\mathbb {Q}$ 위에서 일차 독립일 때, $e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_{2}}$ 가운데 적어도 하나는 초월수인가?^[101]
Schanuel 추측: 복소수 $z_{1},\ldots ,z_{n}$ 이 $\mathbb {Q}$ 위에서 일차 독립이면 $\mathbb {Q} (z_{1},\ldots ,z_{n},e^{z_{1}},\ldots ,e^{z_{n}})$ 의 초월 차수는 적어도 $n$ 인가?^[102]
Littlewood 추측: 디오판토스 근사에서 모든 실수 $\alpha ,\beta$ 에 대해 $\liminf _{n\to \infty }n\|n\alpha \|\|n\beta \|=0$ 인가?^[103]

해석적 수론과 보형 형식

일반화 리만 가설: 모든 디리클레 L-함수의 비자명한 영점은 실수부가 $1/2$ 인가?^[4]
리만 가설: 리만 제타 함수의 모든 비자명한 영점은 실수부가 $1/2$ 인가?^[8]
크라메르 추측: 연속한 두 소수 $p_{n},p_{n+1}$ 사이의 간격은 $O((\log p_{n})^{2})$ 인가?^[4]
Elliott–Halberstam 추측: 등차수열별 소수 분포의 오차에 대해, 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대하여 분포 수준 $1-\varepsilon$ 까지의 평균 추정이 성립하는가?^[104]
Chowla 추측: 정수론의 Liouville 함수 $\lambda$ 를 서로 다른 정수만큼 평행이동하여 얻은 함수들의 모든 유한차 상관은 평균적으로 0이 되는가?^[105]
Bateman–Horn 추측: 국소적인 합동 장애가 없는 여러 기약 정수계수 다항식이 동시에 소수 값을 갖는 횟수는 Bateman과 Horn이 예측한 점근식에 따르는가?^[106]
일반화 Ramanujan 추측: 수체 위의 cuspidal 보형 표현의 모든 비분기 국소 성분은 tempered인가?^[107]
Selberg 고윳값 추측: 합동 부분군에 대응하는 쌍곡 곡면에서 라플라스–벨트라미 연산자의 양의 이산 고윳값은 모두 적어도 $1/4$ 인가?^[108]
웨어링 문제: 모든 충분히 큰 양의 정수를 $k$ 제곱수의 합으로 나타내는 데 필요한 최소 항의 수 $G(k)$ 는 각 $k$ 에 대해 정확히 얼마인가?^[109]

대수적 수론과 산술기하학

버치-스위너턴다이어 추측: 유리수체 $\mathbb {Q}$ 위 타원곡선의 유리점 군의 랭크는 그 곡선의 $L$ -함수가 $s=1$ 에서 갖는 영점의 차수와 같은가?^[8]
힐베르트의 12번째 문제: 임의의 수체의 유한 아벨 확대를, 크로네커-베버 정리에서 원분체를 생성하는 것과 비슷하게 특정 해석 함수의 특수값을 이용해 명시적으로 생성할 수 있는가? 유리수체와 허수 이차체를 비롯한 특별한 경우는 알려져 있지만 일반적인 경우는 미해결이다.^[110]
Artin 원시근 추측: 정수 $a$ 가 $-1$ 도 완전제곱수도 아니면, $a{\bmod {p}}$ 가 원시근이 되는 소수 $p$ 가 양의 밀도로 존재하는가?^[111]
Artin $L$ -함수 정칙성 추측: 수체의 유한 갈루아 확대와 그 갈루아 군의 비자명한 기약 복소 표현에 대응하는 Artin $L$ -함수는 복소평면 전체에서 정칙한가?^[112]
Leopoldt 추측: 임의의 수체 $K$ 와 소수 $p$ 에 대해 단위군의 $p$ -진 로그상이 갖는 랭크는 Dirichlet 단위 정리가 주는 랭크와 같은가?^[113]
Fontaine–Mazur 추측: 수체의 절대 갈루아 군의 기하적 $p$ -진 표현은 대수다양체의 에탈 코호몰로지에서 나오는 표현으로 설명되는가?^[114]
Lehmer의 Mahler 측도 문제: Mahler 측도가 1보다 큰, 최고차항의 계수가 1인 정수계수 다항식들의 Mahler 측도는 1에서 양의 보편적 간격만큼 떨어져 있는가?^[115]
유리수체 위 힐베르트의 10번째 문제: 정수계수 다항식 방정식이 유리수 해를 갖는지를 항상 판정하는 알고리즘이 존재하는가?^[116]

기타 정수론 문제

abc 추측: 서로소인 양의 정수 $a+b=c$ 에 대해 임의의 $\varepsilon >0$ 를 고정하면 $c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }$ 를 만족하는 세 쌍은 유한개뿐인가? Mochizuki Shinichi의 증명 주장은 출판되었지만 수학계에서 일반적으로 받아들여지지는 않고 있다.^[117]
빌 추측: 양의 정수 $A,B,C,x,y,z$ 가 $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ 와 $x,y,z>2$ 를 만족한다면 $A,B,C$ 는 반드시 1보다 큰 공약수를 갖는가?^[118]
Pillai 추측: 임의의 양의 정수 $C$ 에 대해 서로 다른 완전 거듭제곱수 두 개의 차가 $C$ 이하인 쌍은 유한개뿐인가? 동치인 형태로 말하면, 연속한 완전 거듭제곱수 사이의 간격은 무한대로 가는가?^[119]
Erdős–Straus 추측: 모든 정수 $n\geq 2$ 에 대해 ${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$ 를 만족하는 양의 정수 $x,y,z$ 가 존재하는가?^[4]
Brocard 문제: $n=4,5,7$ 이외에도 $n!+1=m^{2}$ 을 만족하는 양의 정수 $n,m$ 이 존재하는가?^[4]
합동수 문제: 주어진 양의 정수가 세 변의 길이가 모두 유리수인 직각삼각형의 넓이인 합동수인지 판정하는 일반적인 방법이 존재하는가? 버치-스위너턴다이어 추측을 가정하면 Tunnell의 정리를 이용한 판정법을 얻을 수 있다.^[120]
Erdős–Moser 문제: 디오판토스 방정식 $1^{k}+2^{k}+\cdots +(m-1)^{k}=m^{k}$ 에 대해 $k>1$ 인 양의 정수 해 $(m,k)$ 가 존재하는가?^[4]
짝수 완전수 문제: 짝수 완전수가 무한히 많이 존재하는가? 이는 메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지와 동치이다.^[4]
홀수 완전수 문제: 홀수 완전수가 존재하는가?^[4]
친화수 문제: 친화수의 쌍이 무한히 많이 존재하는가?^[4]
정규수 문제: $\pi$ , $e$ , ${\sqrt {2}}$ 는 각각 정규수인가?^[4]
세 세제곱수 문제: $n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$ 인 모든 정수 $n$ 은 세 정수의 세제곱수의 합으로 나타나는가?^[4]
완벽한 직육면체 문제: 세 모서리와 세 면대각선, 공간대각선의 길이가 모두 정수인 직육면체가 존재하는가?^[4]

소수

골드바흐의 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타나는가?^[4]
쌍둥이 소수 추측: 차이가 2인 두 소수의 쌍이 무한히 많이 존재하는가?^[4]
de Polignac 추측: 모든 양의 짝수 $2k$ 에 대해 차이가 정확히 $2k$ 인 두 연속한 소수의 쌍이 무한히 많이 존재하는가? 쌍둥이·사촌·섹시 소수에 관한 무한성 문제는 각각 그 특별한 경우이다.^[4]
Legendre 추측: 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $n^{2}$ 과 $(n+1)^{2}$ 사이에는 소수가 존재하는가?^[121]
$n^{2}+1$ 소수 문제: $n^{2}+1$ 꼴의 소수가 무한히 많이 존재하는가?^[122]
부냐콥스키 추측: 양의 최고차항을 갖는 기약 정수계수 다항식이 어떤 소수로도 모든 값을 나눌 수 없는 경우, 그 다항식은 양의 정수에서 소수 값을 무한히 많이 갖는가?^[4]
피보나치 소수 문제: 피보나치 수이면서 소수인 수가 무한히 많이 존재하는가?^[4]
소피 제르맹 소수 문제: $p$ 와 $2p+1$ 이 모두 소수인 소수 $p$ 가 무한히 많이 존재하는가?^[4]
Brocard 추측: $n\geq 2$ 일 때 연속한 두 소수 $p_{n},p_{n+1}$ 에 대해 $p_{n}^{2}$ 과 $p_{n+1}^{2}$ 사이에는 항상 적어도 네 개의 소수가 존재하는가?^[123]
페르마 소수 문제: 페르마 수 가운데 소수인 수가 무한히 많이 존재하는가?^[4]
합성 페르마 수 문제: 합성수인 페르마 수가 무한히 많이 존재하는가?^[4]

위상수학

저차원 위상수학과 매듭 이론

매끄러운 4차원 푸앵카레 추측: 매끄러운 닫힌 4차원 다양체가 $S^{4}$ 와 호모토피 동치이면 반드시 $S^{4}$ 와 미분동형인가?^[18]
매끄러운 4차원 Schoenflies 추측: 4차원 다양체 $S^{4}$ 에 매끄럽게 매장된 모든 $S^{3}$ 는 표준 적도 $S^{3}$ 와 동위인가, 동치로 그 여집합의 두 성분은 모두 표준 4차원 공인가?^[18]
11/8 추측: 모든 닫힌 유향 매끄러운 스핀 4차원 다양체 $X$ 에 대해 $b_{2}(X)\geq {\frac {11}{8}}|\sigma (X)|$ 가 성립하는가?^[18]
Wall 안정화 문제: 서로 위상동형인 닫힌 유향 매끄러운 4차원 다양체 두 개에 각각 $S^{2}\times S^{2}$ 를 한 번씩 연결합하면 항상 미분동형이 되는가? 더 약하게, 모든 쌍에 공통으로 적용되는 유한한 안정화 횟수가 존재하는가?^[18]
매끄러운 2-매듭 풀기 추측: $S^{4}$ 에 매끄럽게 매장된 2-구 $K$ 의 여집합 기본군이 무한 순환군이면 $K$ 는 반드시 자명한 2-매듭인가?^[124]
4차원 위상적 수술 추측: 임의의 기본군을 갖는 4차원 위상다양체에 대해 수술 이론이 예측하는 존재 정리와 $s$ -코보디즘 정리가 일반적으로 성립하는가?^[18]
Hilbert–Smith 추측: 연결된 위상다양체에 충실하게 연속 작용하는 모든 국소 콤팩트 위상군은 리 군인가? 3차원 이하에서는 증명되었지만 일반 차원에서는 미해결이다.^[125]
매듭 풀기 문제: 주어진 매듭 다이어그램이 자명한 매듭인지 판정하는 결정론적 다항 시간 알고리즘이 존재하는가? 이 문제는 NP와 co-NP에 속하는 것으로 알려져 있지만 다항 시간 알고리즘의 존재 여부는 미해결이다.^[126]
부피 추측: 모든 쌍곡 매듭 $K\subset S^{3}$ 에 대해 단위근에서 평가한 colored Jones 다항식의 지수적 성장률은 매듭 여공간의 쌍곡 부피와 같은가?^[127]

대수적 위상수학과 기하군론

Novikov 추측: 닫힌 유향 다양체의 기본군과 그 분류공간의 유리 코호몰로지류에서 정의되는 모든 고차 부호수는 유향 호모토피 동치 아래 불변인가?^[128]
Whitehead 비구면성 추측: 연결된 2차원 CW 복합체 $X$ 가 비구면이면 그 연결된 부분복합체도 모두 비구면인가?^[129]
Eilenberg–Ganea 추측: 정수 계수 코호몰로지 차원이 2인 모든 군 $G$ 는 2차원 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,1)$ 을 갖는가?^[130]

수리논리학

모형 이론

Vaught 추측: 가산 언어의 완전한 1차 이론이 갖는 서로 동형이 아닌 가산 모형의 수가 비가산이면 항상 연속체의 기수 $2^{\aleph _{0}}$ 인가?^[131]
Cherlin–Zilber 추측: 유한 Morley 랭크를 갖는 모든 무한 단순군은 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 대수군과 동형인가?^[132]
Shelah의 eventual categoricity 추측: 임의의 abstract elementary class가 어떤 충분히 큰 기수에서 범주적이면 그보다 충분히 큰 모든 기수에서도 범주적인가? tame인 경우나 universal class인 경우, 또는 강한 큰 기수 가정 아래에서는 여러 결과가 알려져 있지만 일반적인 ZFC 형태는 미해결이다.^[133]

집합론

Ultimate- $L$ 추측: Woodin의 내부 모형 프로그램에서 제안된 $V=\mathrm {Ultimate} {\text{-}}L$ 공리가 적절한 큰 기수 공리들과 양립하도록 하는 내부 모형 이론을 구축할 수 있는가?^[134]
HOD 추측: 충분히 강한 큰 기수 가정 아래에서 Woodin이 제시한 HOD 추측이 성립하는가?^[134]
초콤팩트 기수의 표준 내부 모형 문제: 초콤팩트 기수를 포함하면서 미세 구조와 비교 가능성을 갖는 표준적인 내부 모형을 구성할 수 있는가?^[134]

확률론과 통계물리학

평면 자기 회피 보행의 스케일링 극한 추측: 정사각·삼각·육각 격자 같은 고정된 평면 격자에서 긴 자기 회피 보행을 적절히 스케일링하면 그 곡선의 분포는 $\mathrm {SLE} _{8/3}$ 로 수렴하는가?^[135]
3차원 Ising 임계점 문제: 3차원 최근접 이웃 이징 모형의 스케일링 극한을 엄밀히 구성하고 임계지수를 결정하여, 예상되는 3차원 Ising 등각 장론으로 수렴함을 증명할 수 있는가?^[136]^[137]

1995년 이후 해결된 문제

아래에는 1995년 이후 완전한 증명이나 반례가 제시되어 해결된 대표적인 장기 미해결 문제를 정리한다. 모든 해결된 문제를 망라하는 목록은 아니며, 수학적으로 큰 영향을 끼쳤거나 오랫동안 널리 연구된 문제를 중심으로 싣는다. 해결 연도는 원칙적으로 완전한 해결이 처음 공개된 연도를 기준으로 하며, 정식 출판 연도가 다른 경우에는 비고에 이를 구분한다. 범차원 문제의 특정 차원이나 명시된 특수한 형태만 해결된 경우에는 이를 문제 이름과 비고에 명확히 표시한다. 최근 결과 가운데 아직 정식 학술지에 출판되지 않은 경우도 함께 표시한다.

문제	해결 연도	해결자	비고
Sendov 추측	2026	Lech Mazur	AI 보조로 얻어진 증명이 Lean으로 형식 검증되었고, Terence Tao가 증명을 독립적으로 정리하여 다시 형식화하였다. 이 결과는 2026년에 프리프린트 형태로 공개되었다.^[138]
Bourgain slicing 문제	2025	Boaz Klartag, Joseph Lehec	모든 차원에서 등방 상수가 차원과 무관한 보편 상수로 유계임을 증명하여 긍정적으로 해결하였다.^[139]
3차원 Kakeya 추측	2025	Hong Wang, Joshua Zahl	3차원 유클리드 공간의 모든 Kakeya 집합의 Hausdorff 차원과 Minkowski 차원이 3임을 증명하였다. 고차원 Kakeya 추측은 여전히 미해결이며, 이 결과는 프리프린트로 공개되었다.^[140]
Kervaire 불변량 1 문제	2024	Weinan Lin, Guozhen Wang, Zhouli Xu	마지막으로 남아 있던 126차원 경우를 해결하여 Kervaire 불변량이 1인 매끄러운 framed manifold가 존재하는 차원이 정확히 2, 6, 14, 30, 62, 126임을 확정하였다. 이 결과는 2024년에 프리프린트로 공개되었다.^[141]
Marton 추측(유계 꼬임 아벨군)	2024	W. Timothy Gowers, Ben Green, Freddie Manners, Terence Tao	작은 합집합을 갖는 유계 꼬임 아벨 군의 유한 부분집합에 대해 Freiman–Ruzsa형 구조 정리의 다항식 상계를 증명하였다. 특성 2의 경우는 2023년에 먼저 해결되었고, 일반적인 유계 꼬임 경우의 증명은 2024년에 공개되어 2026년에 출판되었다.^[142]
Aldous–Lyons 추측	2024	Lewis Bowen, Michael Chapman, Alexander Lubotzky, Thomas Vidick	모든 unimodular random network가 유한 네트워크들의 국소 약한 극한으로 근사 가능한가를 묻는 추측에 반례를 구성하여 부정적으로 해결하였다.^[143]^[144]
소파 옮기기 문제	2024	백진언	Gerver가 구성한 넓이 $2.2195\ldots$ 의 소파가 최적임을 증명하였다. 결과는 프리프린트로 공개되었다.^[145]
Kahn–Kalai 추측	2022	Jinyoung Park, Huy Tuan Pham	유한 집합 위의 증가 성질에 대한 임계확률이 expectation threshold에 최대 로그 인자만큼을 곱한 값으로 제어된다는 추측을 증명하였다.^[146]
André–Oort 추측	2021	Jonathan Pila, Ananth N. Shankar, Jacob Tsimerman; 부록 Hélène Esnault, Michael Groechenig	Shimura 다양체의 부분다양체에는 극대 특별 부분다양체가 유한 개만 존재한다는 일반형의 증명이 제시되었다. 해당 증명은 프리프린트로 공개되었다.^[147]
Connes embedding 문제	2020	Zhengfeng Ji, Anand Natarajan, Thomas Vidick, John Wright, Henry Yuen	$\mathrm {MIP} ^{*}=\mathrm {RE}$ 를 증명하고 그 결과를 이용하여 Connes embedding 추측에 반례가 존재함을 보였다.^[148]
Keller 추측	2020	Joshua Brakensiek, Marijn J. H. Heule, John Mackey, David Narváez	정육면체에 의한 유클리드 공간의 타일링에 서로 한 면 전체를 공유하는 두 타일이 반드시 존재하는가를 묻는 문제에서 마지막 미결 차원인 7차원에 반례가 있음을 컴퓨터 보조 증명으로 보였다. 이로써 추측은 6차원 이하에서 참이고 7차원 이상에서 거짓임이 완전히 확정되었다.^[149]
Duffin–Schaeffer 추측	2019	Dimitris Koukoulopoulos, James Maynard	임의의 근사 함수에 대해 기약 유리수에 의한 디오판토스 근사가 거의 모든 실수에 무한히 자주 가능한지를 판정하는 Duffin–Schaeffer 조건이 충분함을 증명하였다. 논문은 2020년에 출판되었다.^[150]
Sensitivity 추측	2019	Hao Huang	불 함수의 sensitivity와 다항식 차수가 다항식 관계를 갖는다는 것을 증명하여 Nisan–Szegedy의 추측을 해결하였다.^[151]
Hedetniemi 추측	2019	Yaroslav Shitov	유한 단순 그래프 $G,H$ 에 대해 $\chi (G\times H)=\min\{\chi (G),\chi (H)\}$ 라는 추측의 반례를 구성하였다.^[152]
볼록 오각형 타일링 분류 문제	2017	Michaël Rao	평면을 타일링하는 볼록 오각형의 계열이 이미 알려진 15개 계열뿐임을 전수 탐색으로 보였다.^[153]
8차원·24차원 구 채우기 문제	2016	Maryna Viazovska; Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska	8차원에서는 $E_{8}$ 격자, 24차원에서는 Leech 격자가 최밀 구 채우기를 준다는 것을 증명하였다.^[154]^[155]
일반화된 가공할 헛소리 추측	2016	Scott Carnahan	일반화된 moonshine에 필요한 Borcherds–Kac–Moody 대수 구조를 구축하여 추측을 증명하였다.^[156]
Erdős 불일치 문제	2015	테런스 타오	모든 $\{-1,1\}$ 값 수열의 동차 등차수열 부분합이 유계일 수 없음을 증명하였다.^[157]
$\ell ^{2}$ decoupling 추측	2014	Jean Bourgain, Ciprian Demeter	양의 정부호 제2기본형을 갖는 콤팩트 초곡면과 원뿔에 대한 $\ell ^{2}$ decoupling 추측을 증명하였다. 결과는 2014년에 공개되어 2015년에 출판되었다.^[158]
Gaussian correlation 추측	2014	Thomas Royen	중심 가우스 측도 $\mu$ 와 원점 대칭 볼록집합 $A,B$ 에 대해 $\mu (A\cap B)\geq \mu (A)\mu (B)$ 임을 증명하였다.^[159]
Kadison–Singer 문제	2013	Adam W. Marcus, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava	Weaver의 등가 추측을 증명하여 문제를 긍정적으로 해결하였다.^[160]
약한 골드바흐의 추측	2013	Harald Helfgott	5보다 큰 모든 홀수가 세 소수의 합으로 표현됨을 증명하였다.^[161]
Virtual Haken 추측	2012	Ian Agol	Dani Wise 등의 결과와 Agol–Groves–Manning의 공동 작업을 바탕으로 닫힌 쌍곡 3차원 다양체가 유한 겹 Haken 덮개를 가짐을 증명하였다.^[162]
Willmore 추측	2012	Fernando C. Marques, André Neves	3차원 유클리드 공간의 매장된 원환면에 대한 Willmore 에너지의 하한 $2\pi ^{2}$ 를 증명하였다.^[163]
타원곡선에 대한 Sato–Tate 추측	2011	Tom Barnet-Lamb, David Geraghty, Michael Harris, Richard Taylor 등	비-CM 타원곡선의 소수별 Frobenius 각도가 Sato–Tate 측도에 따라 분포한다는 추측을 모든 완전실수체 위의 타원곡선에 대해 완성하였다.^[164]
Ehrenpreis 추측	2011	Jeremy Kahn, Vladimir Markovic	임의의 두 닫힌 리만 곡면이 임의로 1에 가까운 준등각 왜곡으로 서로 대응하는 유한 겹 덮개를 갖는다는 추측을 증명하였다. 증명은 2011년에 공개되어 2015년에 출판되었다.^[165]
Hirsch 추측	2010	Francisco Santos	$d$ 차원 볼록 다면체가 $n$ 개의 면을 가질 때 그 꼭짓점-변 그래프의 지름이 항상 $n-d$ 이하라는 추측에 반례를 구성하였다. 논문은 2012년에 출판되었다.^[166]
Bloch–Kato 추측	2009	Markus Rost, Vladimir Voevodsky; 완성 Charles Weibel	모든 소수에 대한 norm residue 사상이 동형이라는 정리를 완성하여 motivic Bloch–Kato 추측을 해결하였다.^[167]
Serre modularity 추측	2008	Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger	$\mathbb {Q}$ 의 절대 갈루아 군의 홀수인 기약 2차원 mod $p$ 표현이 모듈러 형식에서 유도된다는 추측을 완전히 증명하였다. 증명의 두 논문은 2009년에 출판되었다.^[168]^[169]
Langlands fundamental lemma	2008	Ngô Bảo Châu	endoscopy에서 나타나는 궤도 적분 사이의 기본 항등식을 일반적으로 증명하였다. 완성된 논문은 2010년에 출판되었다.^[170]
Marden tameness 추측	2004	Ian Agol; 독립적으로 Danny Calegari, David Gabai	유한 생성 기본군을 갖는 완비 쌍곡 3차원 다양체가 콤팩트 3차원 다양체의 내부와 위상동형임을 증명하였다.^[171]^[172]
Wagner 추측(그래프 마이너 정리)	2004	Neil Robertson, Paul Seymour	모든 무한한 유한 그래프 집합에는 한 그래프가 다른 그래프의 마이너인 두 원소가 존재함을 증명하여, 유한 그래프들이 마이너 관계에 대해 well-quasi-order를 이룬다는 추측을 해결하였다.^[173]
Stanley–Wilf 추측	2004	Adam Marcus, Gábor Tardos	임의의 고정된 순열 패턴을 피하는 길이 $n$ 의 순열 수가 $n$ 에 대해 지수적으로만 증가한다는 추측을 증명하였다.^[174]
그린-타오 정리	2004	Ben Green, 테런스 타오	소수 집합이 임의로 긴 등차수열을 포함함을 증명하였다.^[175]
푸앵카레 추측과 기하화 추측	2002–2003	그리고리 페렐만	Ricci 흐름을 이용하여 Thurston의 3차원 기하화 추측을 증명하였고, 푸앵카레 추측은 그 따름정리로 해결되었다.^[176]
Mumford 추측(안정 곡면 모듈라이 공간)	2002	Ib Madsen, Michael Weiss	안정 사상류군의 유리수 계수 코호몰로지가 Miller–Morita–Mumford 류들로 생성되는 다항식 대수라는 추측을 증명하였다. 증명은 2002년에 공개되어 2007년에 출판되었다.^[177]
Catalan 추측	2002	Preda Mihăilescu	$x^{a}-y^{b}=1$ 에서 $a,b>1$ 인 양의 정수해는 $3^{2}-2^{3}=1$ 뿐임을 증명하였다.^[178]
강한 완벽 그래프 추측	2002	Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour, Robin Thomas	그래프가 완벽 그래프인 것과 홀수 길이가 5 이상인 유도 순환 및 그 여그래프를 포함하지 않는 것이 동치임을 증명하였다.^[179]
Smale의 14번째 문제	2002	Warwick Tucker	고전적인 매개변수의 Lorenz 방정식이 견고한 기묘한 끌개를 갖는다는 것을 엄밀한 수치 계산과 해석을 결합한 컴퓨터 보조 증명으로 확립하였다.^[180]
모듈러성 추측	2001	Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor	유리수 위의 모든 타원곡선이 모듈러임을 증명하여 Taniyama–Shimura–Weil 추측을 완성하였다.^[181]
Double bubble 추측	2000	Michael Hutchings, Frank Morgan, Manuel Ritoré, Antonio Ros	3차원 유클리드 공간에서 주어진 두 부피를 둘러싸고 서로 분리하는 표면 가운데 표준 double bubble이 총 넓이를 최소화함을 증명하였다. 결과는 2000년에 발표되고 2002년에 완전한 논문으로 출판되었다.^[182]
Erdős–Graham 추측	2000	Ernest Croot	충분히 큰 정수 집합을 유한 개의 부분으로 나누면 어느 한 부분이 서로 다른 원소들로 이루어진, 역수의 합이 1인 유한 부분집합을 포함함을 증명하였다.^[183]
벌집 추측	1999	Thomas C. Hales	평면을 같은 넓이의 영역들로 분할할 때 정육각형 벌집이 단위 넓이당 경계 길이를 최소화함을 증명하였다.^[184]
케플러의 추측	1998	Thomas Hales, Samuel Ferguson	3차원에서 같은 크기의 구를 채우는 최대 밀도가 면심입방 격자와 육방밀집 구조가 주는 값임을 증명하였다. 이후 Flyspeck 프로젝트에서 형식 검증되었다.^[185]
Milnor 추측	1996	Vladimir Voevodsky	체의 Milnor $K$ -이론을 mod 2로 줄인 것과 갈루아 코호몰로지 사이의 norm residue 사상이 동형이라는 추측을 증명하였다. 증명의 한 완성된 형태는 2003년에 출판되었다.^[186]
Robbins 문제	1996	William McCune	모든 Robbins 대수가 불 대수인가라는 문제를 자동 정리 증명기 EQP가 찾아낸 증명으로 긍정적으로 해결하였다.^[187]
Dinitz 추측	1995	Fred Galvin	$n\times n$ 배열의 각 칸에 $n$ 개의 기호로 이루어진 임의의 목록이 주어졌을 때, 각 행과 열에서 선택한 기호가 중복되지 않도록 각 칸에서 하나씩 고를 수 있다는 추측을 이분 다중그래프의 목록 변 색칠 정리를 통해 증명하였다.^[188]
페르마의 마지막 정리	1995	앤드루 와일스, 리처드 로런스 테일러	$n>2$ 일 때 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 은 양의 정수해를 갖지 않음을 증명하였다.^[189]^[190]

같이 보기

각주

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