오일러-마스케로니 상수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

정수론에서, 오일러-마스케로니 상수(-常數, 영어: Euler–Mascheroni constant)는 조화급수자연 로그로 근사한 경우의 오차를 나타내는 수학 상수이다. 줄여서 오일러 상수라고도 불리나, 오일러 수 e=2.718…과는 관련이 없다(구하는 과정에서 자연로그를 쓰기는 한다).

정의[편집]

오일러-마스케로니 상수 \gamma는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

\gamma = \lim_{n\to\infty } \left(\sum_{k=1}^n\frac1k  - \ln n\right)=\int_1^\infty\left(\frac1{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\,dx

그 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A001620)

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

역사[편집]

스위스의 수학자 레온하르트 오일러1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(라틴어: De Progressionibus harmonicis observationes)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수C 또는 O로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(이탈리아어: Lorenzo Mascheroni)는 1790년 이 수를 언급하였고, A 또는 a라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 γ로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.[1]

성질[편집]

오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 의해 만약 오일러 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10242080 이상이라는 것이 알려져 있다.

감마 함수와의 관계[편집]

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

 -\gamma = \lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\}
                = \lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z)   + \frac1{z} \right\}.

리만 제타 함수와의 관계[편집]

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\ 
 &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m} \\
 &= \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) \end{align}

적분식[편집]

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx \\
 &= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\
 &=  \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\
 &=  \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0.\end{align}

참고 문헌[편집]

  1. (라틴어) Bretschneider, Carl Anton (1837년). Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1837 (17): 257–285. doi:10.1515/crll.1837.17.257. ISSN 0075-4102.

바깥 고리[편집]