오일러-마스케로니 상수

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허수 단위
원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( )

주요 상수

π - e - √2 - √3 - √5 -
γ - φ - β* - δ - α -
C2 - M1 - B2 - B4 - Λ -
K - K - K - L - μ -
EB - Ω - β - λ - D(1) -
λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ -
K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. -
Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

정수론에서, 오일러-마스케로니 상수(-常數, 영어: Euler–Mascheroni constant)는 조화급수자연 로그로 근사한 경우의 오차를 나타내는 수학 상수이다. 줄여서 오일러 상수라고도 불리나, 오일러 수 e=2.718…과는 관련이 없다(구하는 과정에서 자연로그를 쓰기는 한다).

정의[편집]

오일러-마스케로니 상수 는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

그 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A001620)

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

역사[편집]

스위스의 수학자 레온하르트 오일러1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(라틴어: De Progressionibus harmonicis observationes)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수C 또는 O로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(이탈리아어: Lorenzo Mascheroni)는 1790년 이 수를 언급하였고, A 또는 a라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 γ로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.[1]

성질[편집]

오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 의해 만약 오일러 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10242080 이상이라는 것이 알려져 있다.

감마 함수와의 관계[편집]

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

리만 제타 함수와의 관계[편집]

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

적분식[편집]

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Bretschneider, Carl Anton (1837). “Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (라틴어) 1837 (17): 257–285. doi:10.1515/crll.1837.17.257. ISSN 0075-4102. 

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