다항식

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다항식(polynomial, 多項式, 문화어: 여러마디식)은 일반적으로 7x^3+(-x^2)+14x+(-3y^2)+y+(-9) 와 같이 특정한 문자를 포함하거나 포함하지 않는 들의 합으로 이루어진 식을 말한다.

역사적 의의[편집]

다항식은 대수학에서 중요하게 다루어지는 수학적 개념으로, 현대대수학의 정립에 큰 역할을 했다.

다항식의 표현[편집]

다항식에 있는 문자가 한두 개가 아닐 수 있으므로, 초점이 되는 '특정한 문자'가 무엇인지 알려주기 위해 (특정한 문자)에 대한 다항식 이라고 표현한다. 예를 들어 위의 다항식은 'x에 대한 다항식' 또는 'y에 대한 다항식' 등으로 표현할 수 있다.

다항식의 항[편집]

x에 대한 다항식 (7x^3)+(-x^2)+(14x)+(-3y^2+y-9) 에서 소괄호 안에 있는 각각의 식들을 다항식을 이루는 이라고 한다. 다항식의 들 중에서 특정한 문자(위 다항식에서는 x가 된다)의 차수가 가장 높은 항이 있을때, 그 항의 차수가 그 다항식의 차수가 된다. 예시로 제시한 위의 다항식은 x에 대한 삼차다항식이다. 또한 (특정한 문자)를 포함하지않는 항(-3y^2+y-9 또는 -9)을 상수항으로 따로 지칭하여 부른다.

여러가지 다항식[편집]

단항식[편집]

단항식이란 2x, 3xy^2 와 같이 몇 개의 수나 문자들의 곱으로 나타낸 항이 하나인 식을 말한다. 단항식에서 곱해진 문자의 개수를 그 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 참고로 n개의 단항식으로 이루어진 다항식을 n항식이라고 한다.

계수가 상수인 일변수 다항식[편집]

정수 n0보다 크거나 같고, a_0, a_1, \cdots, a_nn+1개의 실수 혹은 복소수인 상수일 때, 변수 x의 거듭제곱과 a_0, a_1, \cdots, a_n의 곱의 합으로 표현되는 식

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=\sum_{k=0}^n {a_kx^k}\quad(x^0=1)

변수 x에 대한 계수가 상수인 일변수 다항식(univariate polynomial with constant coefficient with respect to x)이라 하며, 일반적으로 x에 대한 다항식(polynomial with respect to x)이라 한다.

  • a_m\ne 0인 최대의 정수 m을 다항식 P(x)차수(次數, degree)라고 하며 \deg P=m이라 쓴다.
  • 다항식 P(x)를 이루고 있는 a_kx^k(項, terms)이 하며, k를 그 항의 차수라 한다. 혹은, 다항식 P(x)k차 항을 a_kx^k라 한다.
  • m=\deg P인 정수 m에 대하여 a_mx^m을 다항식 P(x)최고차항(最高次項, leading term)이라 한다.
  • 변수 x의 거듭제곱 x^k에 곱하여진 상수 a_kx^k계수(係数, coefficient)라 한다.
  • x에 대한 0차항 a_0상수항(constant term)이라 한다. 상수 하나는 상수항으로만 이루어진 다항식이라 할 수 있다.

추상대수학에서, x에 대한 다항식 P(x)의 모든 계수 a_i가 어떤 K의 원소일 때, 다항식 P(x)의 집합을 K[x]라 쓴다. 예를 들어, 모든 실계수 다항식의 집합은 \mathbb{R}[x], 모든 복소계수 다항식의 집합은 \mathbb{C}[x] 등으로 표기한다. 이 때, 집합 K가환환이면 집합 K[x]K-대수이다.

주로 x에 대해 표현하는 이유[편집]

저명한 수학자 데카르트가 그의 저서 《방법서설(Discours de la méthode)》에서 다항식을 특정한 문자 x, y, z를 이용하여 나타내었고, 그 이후로 여러 나라의 수학자들 사이에서 '어떤 식'을 나타내는데 문자 x, y, z를 쓰는 것이 보편화되었는데, 이중에 왜 하필 x를 유난히 많이 사용하는가에 대해서는 여러 설이 제기되고 있으나 모두 확실하지 않다. 어쨌거나 현대에 이르러서, x는 특정한 문자를 나타내는 대표적인 문자로 자리매김하였다.

관련 항목[편집]