다항식

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다항식(polinomial, 多項式, 문화어: 여러마디식)은 대수학에서 중요하게 다루어지는 수학적 개념으로 역사적으로도 현대대수학의 성립에 큰 역할을 했다.

다항식은 7x^3+(-x^2)+14x+(-9) 와 같이 일반적으로 특정한문자를 포함하는 과 특정한 문자를 포함하지않는 항들의 합으로 이루어져있다.

다항식에 있는 문자가 한두개가 아닐 수 있으므로,어떤 문자를 특정한 대상으로 하는지 알려줘야 하기 때문에 (특정한 문자)에 대한 다항식이라고 표현한다.

x에 대한 다항식 (7x^3)+(-x^2)+(14x)+(-9) 에서 소괄호 안에 있는 식들의 각각을 다항식을 이루는 이라고 한다. 다항식의 들 중에서 특정한 문자 x의 차수가 가장 높은 항이 있을때, 그 항의 차수가 다항식의 차수가 된다. 예시로 제시한 위의 다항식은 x에 대한 삼차다항식이다.

또한 (특정한 문자)를 포함하지않는 항 -9를 상수항으로 따로 지칭하여 부른다.

그리고 다항식의 어떤 한 경우를 특별하게 부르는 경우가 있는데, 이 경우는 항이 1개밖에 없는 경우로 단항식이라고 한다.

여기서 우리가 다항식을 나타내는데 x를 자주 쓰는 이유는 저명한 수학자 데카르트가 그의 저서에서 다항식을 특정한문자 x,y,z를 이용하여 나타내면서 여러 나라의 수학자들 사이에서 '어떤 식'을 나타내는데 문자 x,y,z를 쓰는 것이 점점 대중화되기 시작하였고 현대에이르러서, x는 특정한 문자를 나타내는 대표적인 문자로 자리매김하게된다.

단항식[편집]

2x, 3xy^2와 같이 몇 개의 수나 문자들의 곱으로 나타낸 식을 단항식이라고 한다. 단항식에서 곱해진 문자의 개수를 그 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 단항식 또는 단항식의 합으로 나타낸 식을 다항식이라고 한다. 또, n 개의 단항식으로 이루어진 식을 n항식이라고 한다.

계수가 상수인 일변수 다항식[편집]

정수 n0보다 크거나 같고, a_0, a_1, \cdots, a_nn+1개의 실수 혹은 복소수인 상수일 때, 변수 x의 거듭제곱과 a_0, a_1, \cdots, a_n의 곱의 합으로 표현되는 식

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=\sum_{k=0}^n {a_kx^k}\quad(x^0=1)

변수 x에 대한 계수가 상수인 일변수 다항식(univariate polynomial with constant coefficient with respect to x)이라 하며, 일반적으로 x에 대한 다항식(polynomial with respect to x)이라 한다.

  • a_m\ne 0인 최대의 정수 m을 다항식 P(x)차수(次數, degree)라고 하며 \deg P=m이라 쓴다.
  • 다항식 P(x)를 이루고 있는 a_kx^k(項, terms)이 하며, k를 그 항의 차수라 한다. 혹은, 다항식 P(x)k차 항을 a_kx^k라 한다.
  • m=\deg P인 정수 m에 대하여 a_mx^m을 다항식 P(x)최고차항(最高次項, leading term)이라 한다.
  • 변수 x의 거듭제곱 x^k에 곱하여진 상수 a_kx^k계수(係数, coefficient)라 한다.
  • x에 대한 0차항 a_0상수항(constant term)이라 한다. 상수 하나는 상수항으로만 이루어진 다항식이라 할 수 있다.

추상대수학에서, x에 대한 다항식 P(x)의 모든 계수 a_i가 어떤 K의 원소일 때, 다항식 P(x)의 집합을 K[x]라 쓴다. 예를 들어, 모든 실계수 다항식의 집합은 \mathbb{R}[x], 모든 복소계수 다항식의 집합은 \mathbb{C}[x] 등으로 표기한다. 이 때, 집합 K가환환이면 집합 K[x]K-대수이다.

관련 항목[편집]