교환법칙

수학에서, 교환 법칙(영어: commutative property)은 이항 연산에서 피연산자의 순서를 바꾸어도 결과가 변하지 않는 성질이다. 교환 법칙이 성립하는 이항 연산을 가환(영어: commutative) 또는 교환 가능하다고 한다. 많은 이항 연산들이 교환 법칙을 만족하며, 많은 수학적 증명이 이 성질에 의존한다. "3 + 4 = 4 + 3" 또는 "2 × 5 = 5 × 2"와 같은 친숙한 산술 연산에 대해서는 이 성질이 성립하며, 더 복잡한 연산에 대해서도 교환 법칙이 성립할 수 있다. 반면 나눗셈이나 뺄셈과 같은 연산들은 교환 법칙이 성립하지 않으며(예: "3 − 5 ≠ 5 − 3"), 이러한 이항 연산을 비가환(영어: noncommutative)이라 한다.

수의 곱셈과 덧셈과 같은 간단한 연산들이 교환 법칙을 만족한다는 사실은 수 세기 동안 당연한 것으로 여겨졌다. 따라서 이 성질은 새로운 대수적 구조들이 연구되기 시작한 19세기 전까지는 명명되지 않았다.

정의

집합 S 위의 이항 연산 $*$이 모든 $x,y\in S$에 대하여$$x*y=y*x$$를 만족하면, 이 연산은 가환(영어: commutative) 또는 교환 가능하다고 한다. 교환 법칙이 성립하지 않는 연산은 비가환(noncommutative)이라 한다.

어떤 $*$ 연산 하에서$$x*y=y*x$$가 성립하면, x와 y는 교환 가능하다(영어: commute)고 한다.

따라서, 모든 두 원소가 서로 교환 가능하면 그 연산은 교환 법칙이 성립한다. 만약 어떤 두 원소에 대해 $x*y\neq y*x$라면 그 연산은 비가환이다. 물론 비가환인 연산에서 일부 원소 쌍끼리는 교환 가능할 수도 있다.

예

사과의 개수를 합하는 것은 자연수의 덧셈으로 볼 수 있으며, 덧셈은 교환 법칙이 성립한다.

가환 연산

벡터의 덧셈은 교환 법칙이 성립한다. 즉, ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$이다.

• 대부분의 수 체계에서 덧셈과 곱셈은 교환 법칙이 성립한다. 특히 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 사이의 연산에서 그러하다. 이는 모든 체에서도 참이다.
• 모든 벡터 공간과 대수에서 덧셈은 교환 법칙이 성립한다.
• 집합의 합집합과 교집합 연산은 교환 법칙이 성립한다.
• 논리 연산인 "그리고"(and)와 "또는"(or)은 교환 법칙이 성립한다.

비가환 연산

• 나눗셈은 비가환이다. ($1\div 2\neq 2\div 1$). 뺄셈도 비가환이다. ($0-1\neq 1-0$). 하지만 뺄셈은 더 정확하게는 반교환(anti-commutative)으로 분류되는데, 이는 모든 $x$와 $y$에 대해 $x-y=-(y-x)$이기 때문이다. 거듭제곱은 비가환이다. ($2^{3}\neq 3^{2}$).
• 일부 진리 함수는 비가환이다. 즉, 피연산자의 순서를 바꾸면 진리표가 달라진다. 예를 들어, (A ⇒ B) = (¬A ∨ B)와 (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B)의 진리표는 다음과 같다.

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

• 함수의 합성은 일반적으로 비가환이다. 예를 들어, $f(x)=2x+1$이고 $g(x)=3x+7$이라 하자. 그러면 다음과 같다.

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15$$ $$(g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10.$$

• 주어진 차원의 정사각행렬의 행렬 곱셈은 $1\times 1$ 행렬을 제외하고는 비가환 연산이다. 예를 들어 다음 행렬 곱셈은 값이 다르다

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

• 3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱(또는 외적)은 반교환성을 가진다. 즉, $\mathbf {b} \times \mathbf {a} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$이다.

가환 구조

일부 대수적 구조들은 교환 법칙을 요구하지 않는 연산을 포함한다. 만약 특정 구조에서 이 연산이 교환 법칙을 만족하면, 그 구조는 종종 가환이라고 불린다.

• 가환 반군은 연산이 교환 법칙을 만족하는 반군이다.
• 가환 모노이드는 연산이 교환 법칙을 만족하는 모노이드이다.
• 가환군 또는 아벨 군은 연산이 교환 법칙을 만족하는 군이다.
• 가환환은 곱셈이 교환 법칙을 만족하는 환이다. (환에서의 덧셈은 항상 가환이다.)

그러나 대수(algebras)의 경우, "가환대수"라는 용어는 오직 곱셈이 가환인 결합 대수만을 지칭한다.

역사와 어원

교환 성질의 암묵적인 사용에 대한 기록은 고대로 거슬러 올라간다. 이집트인들은 곱셈의 교환 성질을 사용하여 곱의 계산을 단순화했다. 유클리드는 그의 저서 《원론》에서 곱셈의 교환 성질을 가정한 것으로 알려져 있다. 교환 성질의 형식적인 사용은 수학자들이 함수 이론을 연구하기 시작한 18세기 말과 19세기 초에 나타났다. 오늘날 교환 성질은 수학의 대부분의 분야에서 사용되는 잘 알려진 기본 성질이다.

이 용어의 최초 사용은 1814년에 출판된 프랑스 저널에서 발견된다.

'가환'(commutative)이라는 용어의 최초 기록은 1814년 프랑수아 세르보아의 회고록에 등장하는데, 그는 현재 교환 성질이라 불리는 성질을 가진 함수들을 설명하면서 'commutatives'라는 단어를 사용했다. 'Commutative'는 프랑스어 명사 'commutation'과 "교환하다" 또는 "바꾸다"라는 뜻의 동사 'commuter'에서 파생된 형용사 'commutatif'의 여성형이다. 이후 이 용어는 1838년 영어권에 등장했으며, 덩컨 그레고리가 1840년 에든버러 왕립 학회 회보(Transactions of the Royal Society of Edinburgh)에 발표한 "기호 대수의 실제 본질에 관하여"라는 제목의 기사에서도 사용되었다.

같이 보기

• 중심화군과 정규화군
• 가환 그림
• 교환자

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