연산 (수학)

수학에서, 연산(演算, 영어: operation)은 어떤 집합의 거듭제곱 집합에서 그 집합으로 가는 함수이다. 임의의 일정 개수의 원소들의 순서 있는 배열에 유일한 하나의 원소를 대응시킨다. 집합 속 원소들에 대한 연산 결과가 항상 집합 속에 머물러 있다는 사실은 그 집합의 한 가지 성질이며, 이 성질을 연산에 대한 닫힘(演算에對한닫힘, 영어: closure under an operation)이라고 한다.

정의

집합 $S$와 음이 아닌 정수 $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$이 주어졌다고 하자. $S$ 위의 $n$항 연산($n$項演算, 영어: n-ary operation)은 다음과 같은 함수이다.

$F\colon S^{\times n}\to S$

즉, 이는 임의의 $S$ 위의 $n$조 ${\vec {s}}\in S^{\times n}$를 유일한 $S$의 원소 $F({\vec {s}})\in S$에 대응시킨다. 특히, $S$ 위의 영항 연산(零項演算, 영어: 0-ary operation)은 $S$의 원소 $s\in S$이다. $S$ 위의 일항 연산(一項演算, 영어: unary operation) 또는 단항 연산(單項演算)은 $S$ 위의 함수 $S\to S$이다. $S$ 위의 이항 연산(二項演算, 영어: binary operation)은 $S$의 두 원소로부터 $S$의 한 원소를 얻는 함수 $S\times S\to S$이다. 편의상 이항 연산을 덧셈 또는 곱셈이라고 하기도 한다. 이항 연산을 갖춘 집합을 마그마라고 한다. $S$ 위의 삼항 연산(三項演算, 영어: ternary operation)은 $S$의 세 원소로부터 $S$의 한 원소를 얻는 함수 $S\times S\times S\to S$이다.

넓은 의미에서, $n$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

$F\colon S_{0}\times S_{1}\times \cdots \times S_{n-1}\to S$

또한, 무한 순서수 항수를 허용하여 연산의 개념을 일반화할 수 있다. 이 경우, 원래의 항수가 유한한 연산을 유한항 연산(有限項演算, 영어: finitary operation)이라고 하며, 항수가 무한한 연산을 무한항 연산(無限項演算, 영어: infinitary operation)이라고 한다.

구체적으로, 집합 $S$와 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$에 대하여, $S$ 위의 $\alpha$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

$F\colon S^{\times \alpha }\to S$

넓은 의미에서, $\alpha$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

$F\colon \prod _{\beta <\alpha }S_{\alpha }\to S$

연산은 관계의 특수한 경우이다.

연산에 대한 닫힘

집합 $S$ 및 그 위의 $n$항 연산 $F\colon S^{\times n}\to S$가 주어졌다고 하자. $S$의 부분 집합 $T\subset S$가 다음 조건을 만족시키면, $T$가 $F$에 대하여 닫혀있다($F$에對하여닫혀있다, 영어: closed under $F$)고 한다.

• 임의의 ${\vec {t}}\in T^{\times n}$에 대하여, $f({\vec {t}})\in T$

또한, $T\subset S$의 $F\colon S^{\times n}\to S$에 대한 폐포(閉包, 영어: closure) $\operatorname {cl} _{F}T$는 $F$에 대하여 닫혀있는 최소 집합 $T\subset \operatorname {cl} _{F}T\subset S$이다. 즉, 이는 다음과 같다.

$\operatorname {cl} _{F}T=T\cup F(T^{\times n})\cup F((T\cup F(T^{\times n}))^{\times n})\cup \cdots$

보다 일반적으로, 집합 $S$ 및 그 위의 연산의 부분 집합 $\textstyle {\mathcal {F}}\subset \bigcup _{n=0}^{\infty }S^{S^{\times n}}$이 주어졌다고 하자. $T\subset S$가 다음 조건을 만족시키면, ${\mathcal {F}}$에 대하여 닫혀있다(${\mathcal {F}}$에對하여닫혀있다, 영어: closed under ${\mathcal {F}}$)고 한다.

• 임의의 $F\in {\mathcal {F}}$에 대하여, $T$는 $F$에 대하여 닫혀있다.

또한, $T\subset S$의 $\textstyle {\mathcal {F}}\subset \bigcup _{n=0}^{\infty }S^{S^{\times n}}$에 대한 폐포(閉包, 영어: closure) $\operatorname {cl} _{\mathcal {F}}T$는 ${\mathcal {F}}$에 대하여 닫혀있는 최소 집합 $T\subset \operatorname {cl} _{\mathcal {F}}T\subset S$이다.

$\operatorname {cl} _{\mathcal {F}}T=\bigcup _{k=0}^{\infty }\,\overbrace {\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\operatorname {cl} _{F}\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\operatorname {cl} _{F}\cdots \bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\operatorname {cl} _{F}} ^{k}\,T$

표기

연산의 표기법은 함수 표기법 이외에도 여러 가지가 있다. 자주 사용되는 표기법으로는 연산자를 피연산자의 앞에 배치하여 표기하는 전위 표기법(=폴란드 표기법), 연산자를 피연산자의 뒤에 배치하여 표기하는 후위 표기법(=역폴란드 표기법), 연산자를 두 피연산자의 사이에 표기하는 중위 표기법 따위가 있다.

일항 연산은 전위 표기법 $-a$(반수), $\lnot p$(부정) 또는 후위 표기법 $n!$(계승) 또는 함수 표기법 $\sin(x)$(사인) 등을 사용하여 표기할 수 있다. 연산자를 위 첨자 표기하는 방법 $A^{\operatorname {T} }$(전치 행렬)도 있다. 제곱근 ${\sqrt {a}}$의 경우, 연산자가 피연산자의 왼쪽과 위쪽에 걸쳐 위치한다.

이항 연산은 보통 함수 표기법 $F(a,b)$ 대신 중위 표기법 $a+b$, $a\cdot b$를 사용하거나 연산자를 생략하는 방식 $ab$를 사용한다. 거듭제곱 $a^{b}$의 경우, 연산자를 생략하되 두 번째 변수인 지수를 위 첨자 표기한다. 전위 표기법 $+\ a\ b$, $\cdot \ a\ b$이나 후위 표기법 $a\ b\ +$, $a\ b\ \cdot$을 사용하기도 한다.

연산

주어진 연산으로부터, 새로운 연산을 다음과 같이 유도할 수 있다.

제한

$S$ 위의 $n$항 연산

$F\colon S^{\times n}\to S$

은 그에 대하여 닫혀있는 부분 집합 $T\subset S$ 위에 새로운 $n$항 연산

$F|_{T}\colon T^{\times n}\to T$

$F|_{T}\colon {\vec {t}}\mapsto F({\vec {t}})$

을 유도한다. 이를 $F$의 $T$에서의 제한(制限, 영어: restriction)이라고 한다.

멱집합 위에 유도되는 연산

$n$항 연산

$F\colon S^{\times n}\to S$

는 멱집합 ${\mathcal {P}}(S)$ 위에 다음과 같은 연산을 유도한다.

${\tilde {F}}\colon {\mathcal {P}}(S)^{\times n}\to {\mathcal {P}}(S)$

${\tilde {F}}\colon {\vec {T}}\mapsto \{F({\vec {t}})|t_{i}\in T_{i}\}$

즉, 이는 상을 취하는 연산이다. 이를 $F$에 의해 멱집합 위에 유도되는 연산이라고 한다.

점별 연산

$n$항 연산

$F\colon Y^{\times n}\to Y$

은 함수 집합 $Y^{X}$ 위에 다음과 같은 $n$항 연산을 유도한다.

${\tilde {F}}\colon (Y^{X})^{\times n}\to Y^{X}$

${\tilde {F}}\colon {\vec {f}}\mapsto (x\mapsto F({\vec {f}}(x)))$

이를 $F$에 대한 점별 연산(點別演算, 영어: pointwise operation)이라고 한다.

예

사칙 연산

이 부분의 본문은 사칙 연산입니다.

실수 집합 $\mathbb {R}$ 위에 정의된 사칙 연산 가운데,

• 덧셈 $+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $(r,s)\mapsto r+s$은 $\mathbb {R}$ 위의 이항 연산이다.
• 뺄셈 $-\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $(r,s)\mapsto r-s$ 역시 $\mathbb {R}$ 위의 이항 연산이다.
• 곱셈 $\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $(r,s)\mapsto rs$ 역시 $\mathbb {R}$ 위의 이항 연산이다.
• 그러나, 나눗셈 $/\colon \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})\to \mathbb {R}$, $(r,s)\mapsto r/s$은 이항 연산이 아니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문이다. 다만, 나눗셈은 넓은 의미에서 이항 연산이다.

자연수 집합 $\mathbb {N}$이 사칙 연산에 대하여 닫혀있는지의 여부는 각각 다음과 같다.

• $\mathbb {N}$은 $+$에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 $m,n\in \mathbb {N}$에 대하여, $m+n\in \mathbb {N}$이다.
• $\mathbb {N}$은 $-$에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, $3,5\in \mathbb {N}$이지만, $3-5=-2\not \in \mathbb {N}$이다. 사실, $\operatorname {cl} _{-}\mathbb {N} =\mathbb {Z}$이다. (여기서 $\mathbb {Z}$는 정수 집합이다.)
• $\mathbb {N}$은 $\cdot$에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 $m,n\in \mathbb {N}$에 대하여, $mn\in \mathbb {N}$이다.
• $\mathbb {N}$은 $/$에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, $2,5\in \mathbb {N}$이지만, $2/5\not \in \mathbb {N}$이다. 사실, $\operatorname {cl} _{/}\mathbb {N} =\mathbb {Q}$이다. (여기서 $\mathbb {Q}$는 유리수 집합이다.)

논리 연산

이 부분의 본문은 논리 연산입니다.

논리식의 논리합과 논리곱은 논리식 집합 위의 이항 연산이다. 논리식의 부정은 논리식 집합 위의 일항 연산이다.

군 위의 연산

군 $G$ 위에 정의된 연산들 가운데,

• 항등원 $1_{G}\in G$는 $G$ 위의 영항 연산이다.
• 곱셈 $\cdot \colon G\times G\to G$, $(g,h)\mapsto gh$는 $G$ 위의 이항 연산이다.

이들에 의해 멱집합에 유도되는 연산들은 각각 다음과 같다.

• 자명군 $\{1_{G}\}\subset G$
• 임의의 $H,K\subset G$에 대하여, $HK=\{hk|h\in H,\;k\in K\}\subset G$
  • 특히, 임의의 $g\in G\supset H$에 대하여, $gH=\{gh|h\in H\}\subset G$

벡터 공간 위의 연산

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$에 정의된 연산들 가운데,

• 영벡터 $0_{V}\in V$는 $V$ 위의 영항 연산이다.
• 벡터 덧셈 $+\colon V\times V\to V$, $(v,w)\mapsto v+w$은 $V$ 위의 이항 연산이다.
• 그러나, 스칼라 곱셈 $\cdot \colon K\times V\to V$, $(a,v)\mapsto av$은 이항 연산이 아니며, 넓은 의미의 이항 연산이다. 이를 일항 연산 $a\cdot \colon V\to V$, $v\mapsto av$ ($a\in K$)의 집합으로 여길 수 있다.

이들은 각각 함수 집합 $W^{V}$ 위에 점별 연산을 유도하며, 선형 변환 공간 $\hom(V,W)\subset W^{V}$은 이에 대하여 닫혀있다. 따라서 $\hom(V,W)$ 위에 다음과 같은 점별 연산들이 유도된다.

• 영선형 변환 $0_{V,W}\colon V\to W$, $v\mapsto 0_{W}$
• 임의의 선형 변환 $T,U\colon V\to W$ 및 벡터 $v\in V$에 대하여, $(T+U)(v)=T(v)+U(v)$. 이를 점별 덧셈이라고 한다.
• 임의의 선형 변환 $T\colon V\to W$ 및 벡터 $v\in V$ 및 스칼라 $a\in K$에 대하여, $(aT)(v)=aT(v)$. 이를 점별 스칼라 곱셈이라고 한다.

관계

이 부분의 본문은 관계입니다.

$n$항 관계

$R\subseteq S^{\times n}$

은 다음과 같은 특수한 $n$항 연산으로 여길 수 있다.

$F\colon S^{\times n}\to 2$

$F\colon {\vec {s}}\mapsto {\begin{cases}1&{\vec {s}}\in R\\0&{\vec {s}}\not \in R\end{cases}}$

외부 링크

• “Algebraic operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Binary operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Operand”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Operation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Unary operation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binary operation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Operation”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Binary operation”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Operation”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Subset product”. 《ProofWiki》 (영어).