곱셈

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3 × 4 = 12. 네 보따리 안에 세 개씩 들어있는 구슬은 총 열두 개이다.
한 줄에 5개씩인 단위정사각형이 4줄 늘어서서 얻어진 큰 직사각형의 넓이는 20이다(5 × 4 = 20). 4개씩 5줄로 늘어서도 넓이는 같다(4 × 5 = 20). 이는 교환법칙의 성립을 보여준다.
3이 2배 확대되면 6. 자연수뿐 아니라 정수, 유리수, 실수도 확대 배수일 수 있다.

곱셈(영어: multiplication)은 주로 '×', '·'로 표기되는 연산으로, 산술에서 덧셈, 뺄셈, 나눗셈과 함께 사칙연산을 이룬다. 두 자연수의 곱셈은 덧셈의 반복을 나타낸다.[1] 예를 들어 3과 4의 (3 × 4, 3 곱하기 4)은 3을 4번 반복해 더한 것, 즉

3 \times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

와 같다(오른쪽 첫째 그림).

곱셈은 정수, 더 나아가 유리수, 실수, 복소수들에게도 유효하며, 교환법칙, 결합법칙, 덧셈에 대한 분배법칙을 만족한다. 또한 누구에게 곱하건 그 누구를 곱으로 하는 1, 그리고 영이 아닌 수에 대해, 곱하면 1이 되는 수인 역수를 갖춘다.

곱셈에게는 직사각형의 넓이(오른쪽 둘째 그림), 확대와 축소(오른쪽 셋째 그림) 등의 의미를 부여할 수 있다.

곱셈으로부터 다른 연산을 만들 수 있는데, 어떤 수에 다른 어떤 수의 역수를 곱하는 나눗셈, 같은 수를 여러번 곱하는 거듭제곱이 그 예이다.

곱셈은 일반적인 대수 구조에서도 정의 가능하다. 이를테면 의 연산은 많은 경우 곱셈으로 불린다.

용어, 표기법[편집]

곱셈 기호 ×

두 수의 곱셈은 일반적으로 곱셈 기호 '×'를 그 두 수 사이에 써서 나타낸다(중치 표기법). 5 × 2는 5와 2를 곱한 것을 뜻한다. 결과값까지 함께 쓰면

5 \times 2 = 10 (오 곱하기 이는 십이라고 읽는다)

와 같은데, 이때 반복해서 더해지는 수를 피승수(被乘數, 또는 곱하임수, 영어: multiplicand)라 부르고, 몇번 더하는지를 나타내는 수를 승수(乘數, 또는 곱하는수, 곱수, 영어: multiplier)이라고 부른다. '×' 양쪽에 놓인 두 수 중 누가 피승수, 누가 승수인지는 문맥에 따라 다르며, 교환법칙이 성립하는 한 이는 별 문제가 되지 않는다. 두 수를 같이 인수(因數, 또는 인자(因子), 문화어: 가음수, 영어: factor)라고 부르기도 한다. 등호 오른쪽에 놓인 결과값 10은 (영어: product)이라고 부른다.

  • 때론 가운뎃점 '·'(또는 점연산 기호 '⋅')이 곱셈 기호를 대신한다. 마침표소수점으로 하는 곳(대한민국, 미국, 영국 등)에서 이는 일반적인 사용법이다. 쉼표를 소수점으로 하는 독일, 프랑스 등에서는 가운뎃점 '·' 또는 마침표 '.'가 곱셈을 표기하는 데 쓰인다. 5 곱하기 2의 예를 들면:
    5 \cdot 2 또는 5\, . \,2
  • 대수학에서 인수가 문자로 표기될 때, 또는 인수가 괄호에 감싸진 경우, 곱셈 기호를 생략할 수 있다. 예:
    7x (7 곱하기 x 이때 7과 같은 수를 계수라고 한다)
    ab (a 곱하기 b)
    2(1 + 6) (2 곱하기 (1 + 6))
  • 곱셈 기호를 생략하면 혼동이 생기는 경우도 있다. 십진법으로 표기한 52는 5 x 2로 오인될 수 있다.[2] 괄호가 감싼 인수와의 곱셈 a(b + c)는 함수의 표기법과 혼동된다.
  • 셋 이상의 수의 곱셈을 표기할 때, 괄호를 통해 연산 순서를 명시해줄 수 있다. 하지만 결합법칙이 성립하는 대부분의 경우, 괄호를 생략해도 무방하다. 예:
    1 \times 2 \times 3 (1, 2, 3의 곱)
    abcde (a, b, c, d, e의 곱)
  • 벡터 간의 곱셈에서는 '×' 기호는 벡터곱을, '·' 기호는 스칼라곱을 뜻한다.
  • 컴퓨터에서는 보통 별표 '*'를 곱셈에 사용한다. 이러한 관례는 포트란 프로그래밍 언어에서 시작되었다.

자연수 ~ 복소수의 곱셈[편집]

자연수의 곱셈[편집]

두 자연수 mn의 곱셈은 위에 적힌대로 반복되는 덧셈으로 정의될 수 있다.

m \times n = \underbrace{m + m + m + \cdots + m}_n = \sum_{i = 1}^{n} m

페아노 산술에서는, 자연수의 곱셈을 다음과 같은 두 공리로 기술한다.

m \times 0 = 0
m \times S(n) = m \times n + m

(S(n)은 n따름수이다.) 이 둘은 자연수의 집합론적 모형에서 자연수 곱셈의 정의로서 사용되는데, 이때 곱셈의 존재성과 유일성은 자연수에 대한 재귀정리에 의해 보장된다.

자연수에서의 곱셈은 닫힌 연산이며, 교환·결합·분배 법칙을 만족한다.

정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈[편집]

정수부터 복소수까지의 곱셈도 직관적, 경험적인 방식으로 도입할 수 있다. 이들 수 체계를 공리화했을 때, 곱셈은 일정한 조건을 만족하는 이항 연산으로서 기술된다. 곱셈은 아래와 같이 형식적으로 구성할 수도 있다.

집합론에서 정수는 자연수의 순서쌍으로 이루어진 집합 위의 '가 같다'는 의미의 동치관계에 의한 동치류로서 구성된다. 이때 곱셈은 직관과 경험에 부합하는 아래의 방법으로 정의할 수 있다.

(a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc)

정수의 곱셈을 완전히 정립하고 난 뒤, 이는 아래 관계에 대응한다.

(a - b)(c - d) = (ac + bd) - (ad + bc)

비슷하게 유리수는 정수 집합과 영아닌 정수 집합의 곱집합 위의 동치류로서 구성되며, 아래의 방법으로 곱셈을 정의할 수 있다.

(a, b) \cdot (c, d) = (ac, bd)

실수의 곱셈의 구성은 실수의 구성법에 따라 다르다. 데데킨트 절단으로서의 실수는 다음과 같은 규칙으로 곱해진다.

r_1 r_2 = \begin{cases}
\mathbb{Q}^- \cup \{xy : x \in r_1,\ y \in r_2,\ x,y \ge 0\} & r_1, r_2 > 0 \\
\varepsilon |r_1||r_2| & \text{otherwise} \end{cases}

(ε은 부호로, 예를 들어 양수와 음수의 곱일 때 '-'를 값으로 준다.)

다음은 실수의 순서쌍으로서의 복소수의 곱셈이다.

(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

이들의 곱셈은 교환·결합·덧셈에 대한 분배법칙을 각자 만족한다. 두 정수의 곱은 여전히 정수, 두 유리수, 실수, 복소수의 곱은 각각 여전히 유리수, 실수, 복소수이다.

계산법[편집]

43 × 25필산법
  • 주산.
  • 비교적 작은 자연수의 곱셈의 암산을 위해 구구단, 19단 등을 외우기도 한다.
  • 큰 자연수(이를테면 두 자릿수와 두 자릿수의 곱셈)를 곱할 때에는 곱하려는 두 수를 세로로 나열해 구구법에 기초하여 계산할 수 있다(오른쪽 그림).

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Tao 2008, 23쪽
  2. Tao 2008, 447쪽

참고 문헌[편집]