분배법칙

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분배법칙(分配法則)이란 수학에서, 상세히 말하자면 추상대수학에서, 이항연산에 대한 성질로 다음과 같은 곱셈과 덧셈에 대한 초등대수에서의 분배법칙

4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3)

을 일반화 시킨 것이다.

분배법칙의 정의[편집]

주어진 집합 SS에 대한 두 이항연산 • 와 + 에 대해, 만약 연산 • 이

  • S의 임의의 원소 x, y, z 에 대해
x • (y + z) = (x • y) + (x • z);
이 성립하면 연산 • 은 연산 + 에 대해 좌분배법칙(left-distributive)이 성립한다고 한다.
  • S의 임의의 원소 x, y, z 에 대해
(y + z) • x = (y • x) + (z • x);
이 성립하면 연산 • 은 연산 + 에 대해 우분배법칙(right-distributive)이 성립한다고 한다.
  • 연산 + 에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙이 모두 성립하면 연산 • 는 연산 + 에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다.

만약 연산 • 에 대해 교환법칙이 성립하면 위의 세 조건은 모두 논리적으로 동일하다.

분배법칙의 예[편집]

max(a, min(b, c)) = min(max(a, b),max(a, c))
min(a, max(b, c)) = max(min(a, b),min(a, c))
gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b),gcd(a, c))
lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b),lcm(a, c))
  • 임의의 실수 a, b, c 에 대해, 덧셈 +은 최댓값 연산 max 와 최솟값 연산 min에 대해 분배법칙이 성립한다.
a + max(b, c) = max(a + b, a + c)
a + min(b, c) = min(a + b, a + c)