초등대수학

이차함수 $y=x^{2}-x-2$의 그래프. 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표 $-1$과 $2$는 방정식 $x^{2}-x-2=0$의 해이다.

초등대수학(初等代數學, 영어: elementary algebra)은 수를 문자로 나타내어 수량 사이의 관계와 계산 법칙을 다루는 대수학의 기초 분야이다. 수와 문자가 들어 있는 식을 계산하고 변형하는 방법, 방정식과 부등식을 푸는 방법, 함수를 식과 그래프로 나타내는 방법 등이 주요 내용이다.

산술에서 $3+5=8$과 같이 주어진 수를 계산한다면, 초등대수학에서는 $x+5=8$을 만족하는 수를 구하거나 $a+b=b+a$처럼 여러 수에 공통으로 성립하는 법칙을 나타낸다. 문자는 아직 모르는 값뿐 아니라 달라질 수 있는 양이나 임의의 수를 가리킬 수 있다. 이 때문에 하나의 식으로 여러 계산을 표현하고, 겉으로 다른 문제에서도 같은 관계를 찾아낼 수 있다.

초등대수학은 주로 실수와 복소수의 계산을 다루며, 군·환·체와 같은 일반적인 구조를 연구하는 추상대수학과 구별된다. 학교 수학에서는 중등교육의 주요 내용을 이룬다.

범위와 기본 관점

 산술, 대수학 및 추상대수학 문서를 참고하십시오.

초등대수학에서는 산술의 연산 법칙을 문자가 들어 있는 식에도 적용한다. 예를 들어 한 개에 $p$원인 물건 $n$개의 가격은 $pn$원이다. 이 식에 실제 가격과 개수를 대입하면 금액을 계산할 수 있고, 총액이 $T$원으로 주어지면 $pn=T$라는 방정식을 세울 수도 있다. 같은 식을 계산의 규칙으로 볼지, 어떤 값을 구하기 위한 조건으로 볼지는 문제에서 주어진 것과 구하려는 것에 따라 달라진다.

다루는 수의 범위도 문제의 일부이다. 방정식 $2x=1$은 정수에서는 해가 없지만 유리수에서는 $x=1/2$이라는 해가 있다. $x^{2}=2$의 해는 유리수가 아닌 무리수이고, $x^{2}=-1$은 실수에서는 해가 없으나 복소수에서는 $i$와 $-i$를 해로 갖는다. 여기서 $i$는 제곱하면 $-1$이 되는 수인 허수 단위이다. 따라서 방정식에 해가 없다고 할 때에는 어느 범위의 수를 허용하는지도 함께 고려해야 한다.

초등대수학의 범위는 교육과정이나 교재에 따라 조금씩 다르다. 문자와 식, 다항식, 일차·이차방정식은 공통으로 다루는 내용이며, 이를 확장하여 유리함수, 근호가 있는 식, 지수함수와 로그함수를 함께 다루기도 한다.

문자와 식

문자의 역할

 이 부분의 본문은 변수 (수학), 미지수 및 상수입니다.

변수는 정해진 범위의 값을 나타내는 기호이다. 초등대수학에서는 보통 $x,y,a,b$와 같은 문자를 쓰며, 같은 문자라도 식에서 맡는 역할은 문맥에 따라 달라진다.

문자를 사용하는 대표적인 경우

역할	예	문자의 의미
미지수	$x+3=10$	등식을 성립하게 하는, 아직 구하지 않은 수를 나타낸다.
일반적인 수	$a+b=b+a$	덧셈의 순서를 바꾸어도 결과가 같다는 법칙을 나타낸다. $a,b$에 특정한 값을 정할 필요가 없다.
서로 관계있는 양	$c=\pi d$	원의 지름 $d$에 따라 둘레 $c$가 정해진다. $\pi$는 일정한 수인 원주율이다.

주어진 문제에서 값을 고정하여 다루는 수는 상수이다. 예를 들어 $y=ax+b$에서 $a,b$를 고정하고 $x$의 변화에 따른 $y$를 살필 수 있다. 따라서 같은 문자도 문맥에 따라 변수나 상수로 쓰인다.

식의 표기와 대입

식은 수와 문자에 연산 기호를 적용하여 나타낸 표현이다. $2x+3$, $x^{2}-y$, $3ab+2$ 등이 그 예이다. 문자와 수 사이의 곱셈 기호는 흔히 생략하므로 $2x$는 $2\times x$, $ab$는 $a\times b$를 뜻한다. 같은 수를 반복해서 곱한 것은 거듭제곱으로 나타내어, $x\cdot x\cdot x$를 $x^{3}$으로 쓴다.

식의 값을 계산할 때에는 괄호 안의 계산을 먼저 하고, 거듭제곱, 곱셈·나눗셈, 덧셈·뺄셈의 순서로 계산한다. 따라서 $2x+3$과 $2(x+3)$은 서로 다른 식이다. 문자에 수나 다른 식을 넣는 것을 대입이라고 한다. 예를 들어 $2x+3$에 $x=4$를 대입하면 $2\times 4+3=11$이다. 음수를 대입할 때에는 괄호가 부호의 범위를 구별해 준다. $x=-2$이면 $x^{2}=(-2)^{2}=4$이지만 $-x^{2}=-4$이다.

다항식을 덧셈으로 연결된 꼴로 보았을 때 각각의 부분을 항이라고 한다. 예를 들어 $3x^{2}-2x+5$의 항은 $3x^{2}$, $-2x$, $5$이다. 문자에 곱해진 수를 계수라고 하므로, $x^{2}$의 계수는 $3$, $x$의 계수는 $-2$이다. 문자가 없는 항 $5$는 상수항이다. 여러 문자가 있는 식에서는 어느 문자를 기준으로 보는지에 따라 계수가 달라질 수 있다.

등식과 항등식

 이 부분의 본문은 등식 및 항등식입니다.

등식은 등호 $=$를 사용하여 두 식의 값이 같음을 나타낸 것이다. 등호의 왼쪽 식을 좌변, 오른쪽 식을 우변이라고 한다. 식 $2x+3$이 하나의 값을 나타내는 표현이라면, 등식 $2x+3=7$은 두 값 사이의 관계를 나타낸다. 이 관계를 만족하는 미지수의 값을 구하는 것이 방정식을 푸는 일이다.

항등식은 문자가 취할 수 있는 모든 값에 대하여 성립하는 등식이다. 예를 들어 $2(x+3)=2x+6$은 모든 실수 $x$에 대해 성립하지만, $2x+3=7$은 $x=2$일 때에만 성립한다. 항등식은 한 식을 같은 값을 갖는 다른 식으로 바꾸는 근거가 된다. 몇 가지 수를 대입하여 양변이 같다는 것을 확인하는 것과, 허용되는 모든 값에 대해 성립함을 보이는 것은 구별된다. 위 항등식은 특정한 수의 계산 결과가 아니라 분배법칙으로 설명할 수 있다.

식의 계산

연산 법칙

실수의 덧셈과 곱셈에는 다음 법칙이 성립한다. 여기서 $a,b,c$는 임의의 실수이다. 이러한 법칙을 이용하면 문자의 값을 일일이 정하지 않고도 식을 변형할 수 있다.

법칙	덧셈	곱셈
교환법칙	$a+b=b+a$	$ab=ba$
결합법칙	$(a+b)+c=a+(b+c)$	$(ab)c=a(bc)$
항등원	$a+0=a$	$a\cdot 1=a$
역원	$a+(-a)=0$	$a\cdot {\frac {1}{a}}=1$ ($a\neq 0$)

두 연산을 연결하는 분배법칙은 $$a(b+c)=ab+ac$$ 이다. 예를 들어 $2(x+3)=2x+6$으로 괄호를 풀 수 있다. 뺄셈은 반대 부호인 수를 더하는 것으로, 0이 아닌 수로 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것으로 바꾸어 같은 법칙을 적용한다. 다만 뺄셈과 나눗셈 자체에는 일반적으로 교환법칙이나 결합법칙이 성립하지 않는다.

다항식과 인수분해

 이 부분의 본문은 다항식 및 인수분해입니다.

한 문자 $x$에 대한 다항식은 $a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$과 같이, 상수와 $x$의 음이 아닌 정수 거듭제곱의 배수를 유한 개 더한 식이다. 여기서 $n$은 음이 아닌 정수이고, $a_{0},\ldots ,a_{n}$은 계수를 나타내는 상수이다. 0이 아닌 다항식에서 계수가 0이 아닌 항의 가장 큰 지수를 차수라고 한다. 예를 들어 $3x^{2}-2x+5$는 이차 다항식이다. 두 문자 이상의 다항식도 있으며, $2xy+x^{2}$가 그 예이다.

문자 부분과 각 문자의 지수가 같은 항을 동류항이라고 한다. 동류항끼리는 분배법칙을 이용하여 계수를 더하거나 뺄 수 있다. 예를 들어 $$2x^{2}+3x-x^{2}+x=(2-1)x^{2}+(3+1)x=x^{2}+4x$$ 이다. $x$와 $x^{2}$는 서로 다른 거듭제곱이므로 동류항이 아니다. 곱의 형태인 식에서 괄호를 풀어 합의 형태로 나타내는 것을 전개라고 한다.

인수분해는 이와 반대로 다항식을 더 간단한 다항식의 곱으로 나타내는 것이다. 공통인수를 묶으면 $x^{2}+3x=x(x+3)$이고, 이차식에서는 $$x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2)$$ 와 같이 나타낼 수 있다. 오른쪽을 전개하면 왼쪽이 되므로, 전개와 인수분해는 같은 식을 서로 다른 형태로 표현하는 과정이다. 인수분해된 형태는 곱이 0이 되는 경우나 식의 부호를 살피기에 편리하다.

한 변이 $a+b$인 정사각형의 넓이는 네 부분의 넓이 $a^{2},ab,ab,b^{2}$의 합과 같다. 여기서 $a,b>0$이다.

대표적인 곱셈 공식으로는 $$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},\qquad (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$ 가 있다. 첫 번째 공식은 한 변이 $a+b$인 정사각형을 네 부분으로 나눈 넓이로도 설명할 수 있다. 이 그림은 $a,b$가 양수일 때의 해석이지만, 분배법칙으로 전개하면 모든 실수에 대해 공식이 성립함을 알 수 있다.

인수분해의 결과는 계수로 어떤 수를 허용하는지에 따라 달라진다. $x^{2}-2$는 유리수 계수를 가진 두 일차식의 곱으로는 나타낼 수 없지만, 실수 계수에서는 $(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$로 나타낼 수 있다. 마찬가지로 $x^{2}+1$은 실수 계수의 일차식으로 인수분해되지 않지만, 복소수 계수에서는 $(x-i)(x+i)$이다.

거듭제곱과 근호

 이 부분의 본문은 거듭제곱 및 제곱근입니다.

거듭제곱의 지수는 반복되는 곱셈을 간단히 나타낸다. 양의 정수 $m,n$에 대해 $$a^{m}a^{n}=a^{m+n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad (ab)^{n}=a^{n}b^{n}$$ 이 성립한다. $a\neq 0$일 때에는 $a^{0}=1$, $a^{-n}=1/a^{n}$으로 정하여 이 법칙들을 정수 지수까지 확장한다. 예를 들어 $x^{2}x^{3}=x^{5}$이며, 덧셈 $x^{2}+x^{3}$에는 이 지수법칙을 적용할 수 없다.

제곱근은 제곱했을 때 주어진 수가 되는 수이다. 양수 $a$의 두 제곱근 가운데 양수인 것을 ${\sqrt {a}}$로 나타내며, ${\sqrt {0}}=0$이다. 따라서 방정식 $x^{2}=9$의 해는 $3$과 $-3$이지만, 식 ${\sqrt {9}}$의 값은 $3$ 하나이다. 실수 $x$에 대해 ${\sqrt {x^{2}}}$은 $x$의 절댓값 $|x|$과 같다. 예를 들어 $x=-3$이면 ${\sqrt {(-3)^{2}}}=3$이다.

근호가 있는 식에도 성립 조건이 따른다. 실수 범위에서 ${\sqrt {x}}$를 다루려면 $x\geq 0$이어야 하고, $a,b\geq 0$이면 ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$이다. 한편 제곱근은 덧셈에 분배되지 않으므로, 일반적으로 ${\sqrt {a+b}}$를 ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}$로 바꿀 수 없다.

유리식과 정의되는 범위

 이 부분의 본문은 유리식입니다.

유리식은 0이 아닌 다항식을 분모로 하는 두 다항식의 비로 나타낼 수 있는 식이다. 수의 분수와 마찬가지로 약분과 통분을 할 수 있지만, 분모의 값이 0이 되는 수는 대입할 수 없다. 예를 들어 $${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=x+1\qquad (x\neq 1)$$ 이다. 약분 뒤의 $x+1$은 $x=1$에서도 계산할 수 있으나, 원래 식은 그곳에서 정의되지 않는다. 두 식의 값이 같다는 설명에는 이 제한이 포함된다.

약분하는 대상은 분자와 분모에 공통으로 곱해진 인수이다. 공통인수와 달리, 덧셈으로 연결된 항은 그대로 약분할 수 없다. 예를 들어 $(x+1)/x$는 $x\neq 0$에서 $1+1/x$이며, $1$로 약분되지 않는다. 식을 간단히 하는 과정에서는 결과의 모양뿐 아니라 처음 식이 정의되는 범위를 함께 유지해야 한다.

방정식

 이 부분의 본문은 방정식입니다.

방정식의 해는 주어진 등식을 성립하게 하는 미지수의 값이며, 모든 해를 모은 것을 해집합이라고 한다. 방정식을 푼다는 것은 허용된 수의 범위에서 해를 빠짐없이 구하는 것이다. 해가 하나인 경우뿐 아니라 여러 개인 경우, 없는 경우, 무한히 많은 경우가 있다.

등식의 성질과 동치변형

같은 해집합을 갖는 방정식은 서로 동치이다. 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것, 양변에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누는 것은 되돌릴 수 있는 연산이므로 해집합을 바꾸지 않는다. 이러한 성질로 방정식을 더 간단한 동치인 방정식으로 바꾸어 푼다.

그러나 모든 연산이 되돌릴 수 있는 것은 아니다. $x=1$의 양변에 0을 곱하면 $0=0$이 되어 처음의 조건이 사라진다. 또 $x(x-1)=0$을 곧바로 $x$로 나누면 $x=0$인 해를 놓친다. 미지수가 들어 있는 식으로 나눌 때에는 그 식이 0이 되는 경우를 먼저 구별해야 한다. 양변을 제곱하는 경우에도 원래 방정식에 없던 해가 생길 수 있으므로, 얻은 값이 처음 조건을 만족하는지 확인한다.

일차방정식

 이 부분의 본문은 일차방정식입니다.

같은 상자 하나의 무게를 $x$라고 하면 저울의 평형은 $2x+4=10$으로 나타낼 수 있다. 양쪽에서 같은 무게를 덜어 내어도 평형은 유지된다.

미지수가 하나인 일차방정식은 정리하면 $$ax+b=0\qquad (a\neq 0)$$ 의 꼴이 되는 방정식이다. 여기서 $a,b$는 주어진 수이고 $x$는 미지수이다. 양변에서 $b$를 빼고 $a$로 나누면 해 $x=-b/a$를 얻는다.

예를 들어 그림의 저울을 나타낸 $2x+4=10$은 양변에서 4를 빼면 $2x=6$, 양변을 2로 나누면 $x=3$이 된다. 이와 같이 한쪽 변의 항을 다른 쪽으로 옮기면서 부호를 바꾸는 이항도, 실제로는 양변에 같은 식을 더하거나 빼는 과정이다. 원래 식에 $3$을 대입하면 $2\times 3+4=10$이므로 해임을 확인할 수 있다.

변형한 결과에 따라 해가 없거나 모든 실수가 해가 될 수도 있다. $2x+1=2x+3$은 정리하면 $1=3$이므로 해가 없고, $2(x+1)=2x+2$는 항등식이므로 모든 실수가 해이다. 이런 경우에는 정리한 식의 미지수 계수가 0이 되므로, 위의 $a\neq 0$인 일차방정식과 구별한다.

연립방정식

 이 부분의 본문은 연립방정식입니다.

연립방정식은 여러 방정식을 동시에 만족하는 값을 구하는 문제이다. 두 미지수 $x,y$가 있는 경우에는 한 수가 아니라 두 수의 쌍이 해가 된다. 예를 들어 $${\begin{cases}x+y=5,\\x-y=1\end{cases}}$$ 의 해는 $x=3,y=2$이다. 두 방정식에 이 값을 넣으면 각각 $5=5$, $1=1$이 된다.

대표적인 풀이에는 대입법과 가감법이 있다. 대입법은 한 식에서 구한 미지수의 표현을 다른 식에 넣는 방법이다. 위 첫째 식의 $x=5-y$를 둘째 식에 넣으면 $(5-y)-y=1$이므로 $y=2$를 구할 수 있다. 가감법은 필요하면 각 식의 양변에 적절한 수를 곱한 뒤, 두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없애는 방법이다. 위 두 식을 더하면 $2x=6$이 된다. 두 방법 모두 미지수의 수를 줄여 이미 풀 수 있는 방정식으로 바꾸는 과정이다.

두 미지수의 일차방정식은 좌표평면에서 직선을 나타낸다. 두 직선이 한 점에서 만나면 그 교점의 좌표가 연립방정식의 유일한 해이고, 서로 다른 평행선이면 해가 없으며, 같은 직선이면 해가 무한히 많다.

이차방정식

 이 부분의 본문은 이차방정식입니다.

이차방정식은 정리하면 $$ax^{2}+bx+c=0\qquad (a\neq 0)$$ 의 꼴이 되는 방정식이다. 인수분해할 수 있으면 두 수의 곱이 0일 때 적어도 한쪽이 0이라는 성질을 이용하여 푼다. 앞의 이차식 $x^{2}+3x-10$을 예로 들면, $$x^{2}+3x-10=0\quad \Longleftrightarrow \quad (x+5)(x-2)=0$$ 이므로 해는 $x=-5$ 또는 $x=2$이다.

모든 이차방정식은 완전제곱식의 형태로 바꾸어 풀 수 있다. 예를 들어 $x^{2}+6x=7$의 양변에 9를 더하면 $(x+3)^{2}=16$이므로 $x+3=4$ 또는 $x+3=-4$이고, 해는 $1,-7$이다. 같은 방법을 일반적인 이차방정식에 적용하면 근의 공식을 얻는다.

근의 공식

실수 계수의 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에서 $a\neq 0$이고 $b^{2}-4ac\geq 0$이면, 실수해는 $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$ 이다. 여기서 $\pm$는 덧셈과 뺄셈 각각으로 구한 값을 뜻한다.

판별식 $D=b^{2}-4ac$의 부호는 실수해의 개수를 결정한다. $D>0$이면 서로 다른 두 실근, $D=0$이면 하나의 중근이 있고, $D<0$이면 실근이 없다. 마지막 경우에도 복소수를 허용하면 서로 켤레인 두 근을 얻는다. 근의 공식은 인수분해가 쉽게 드러나지 않는 경우에도 사용할 수 있다.

분수방정식과 무리방정식

분모에 미지수가 있는 분수방정식은 분모가 0이 되지 않는 범위에서 양변에 공통분모를 곱하여 푼다. 예를 들어 $1/(x-1)=2$에서는 $x\neq 1$이어야 하며, 이 범위에서 $1=2(x-1)$과 동치이다. 이를 풀면 $x=3/2$를 얻는다. 분모를 없애면 처음의 제한이 식에 드러나지 않으므로, 제한 조건을 따로 유지해야 한다.

미지수가 근호 안에 있는 무리방정식에서는 양변을 제곱하여 근호를 없애는 방법을 쓴다. 이때 원래 식의 해가 아닌 값인 무연근이 생길 수 있다. 예를 들어 $${\sqrt {x+2}}=x$$ 를 제곱하면 $x+2=x^{2}$가 되어 $x=2,-1$을 얻는다. 그러나 원래 식의 왼쪽은 음이 아니므로 $x=-1$은 해가 될 수 없다. 원래 식을 만족하는 해는 $x=2$뿐이다.

부등식

 이 부분의 본문은 부등식입니다.

부등식은 $<,>,\leq ,\geq$와 같은 부등호로 두 식의 크기를 비교한 것이다. 방정식과 마찬가지로 부등식을 참으로 만드는 값을 해라고 하며, 해 전체는 수직선 위의 범위로 나타내는 경우가 많다. 예를 들어 $x+2\leq 5$의 해는 $x\leq 3$을 만족하는 모든 실수이다.

부등식의 변형

양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. 양변에 양수를 곱하거나 양수로 나눌 때에도 방향이 유지되지만, 음수를 곱하거나 음수로 나누면 방향이 바뀐다. 예를 들어 $2<3$의 양변에 $-1$을 곱하면 $-2>-3$이다.

이 성질에 따라 $-2x+1<5$는 $-2x<4$, 곧 $x>-2$와 동치이다. 그러나 부호를 모르는 미지수로 양변을 곱하거나 나눌 때에는 부호에 따라 경우를 나누어야 한다. $1/x>0$에서 곧바로 $x$를 곱해 $1>0$만 남기면 $x$가 양수여야 한다는 조건을 잃게 된다.

인수분해는 이차 이상의 식이 포함된 부등식에도 쓰인다. 예를 들어 $(x-1)(x-3)>0$이려면 두 인수의 부호가 같아야 하므로 $x<1$ 또는 $x>3$이다. 두 경계 사이인 $1<x<3$에서는 두 인수의 부호가 달라 곱이 음수가 된다. 이런 방식으로 식의 값이 0이 되는 점을 기준으로 구간을 나누어 부호를 조사할 수 있다.

절댓값이 들어 있는 부등식은 수직선 위의 거리로 해석할 수 있다. $|x-a|$는 두 점 $x,a$ 사이의 거리이므로, $r>0$일 때 $|x-a|<r$는 $a-r<x<a+r$와 같다. 예를 들어 $|x-3|<2$는 3에서 거리가 2보다 작은 수를 뜻하며, 해는 $1<x<5$이다.

함수와 그래프

 이 부분의 본문은 함수 및 함수의 그래프입니다.

함수는 정해진 범위의 각 입력값에 출력값 하나를 대응시키는 관계이다. 초등대수학에서는 수를 입력하고 수를 출력하는 함수를 주로 다루며, $y=f(x)$로 나타낸다. 예를 들어 $f(x)=2x+1$이면 $f(3)=7$이다. 입력값이 될 수 있는 수의 집합을 정의역이라고 하며, $f(x)=1/x$에서는 0을 제외해야 한다.

함수는 식뿐 아니라 값의 표나 그래프로도 나타낼 수 있다. 좌표평면에 점 $(x,f(x))$를 모은 것이 그래프이며, 이를 통해 입력에 따른 출력의 변화나 여러 함수 사이의 관계를 볼 수 있다. 그러나 미지수가 두 개인 모든 방정식이 $x$의 함수 $y$를 정하는 것은 아니다. 예를 들어 $x^{2}+y^{2}=1$에서는 $x=0$에 $y=1,-1$의 두 값이 대응하므로, 이 관계 전체를 하나의 함수 $y=f(x)$로 나타낼 수 없다.

일차함수와 이차함수

 이 부분의 본문은 일차함수 및 이차함수입니다.

두 일차함수 $y={\frac {1}{2}}x+2$와 $y=-x+5$의 그래프. 교점 $(2,3)$은 두 식을 함께 만족한다.

일차함수는 $y=ax+b$에서 $a\neq 0$인 함수이다. 그래프는 기울기가 $a$이고 $y$절편이 $b$인 직선이다. $x$가 1만큼 증가할 때 $y$는 $a$만큼 변하므로, $a>0$이면 오른쪽으로 갈수록 높아지고 $a<0$이면 낮아진다. $a=0$인 경우는 상수 함수이며, $b=0$인 일차함수 $y=ax$는 정비례 관계를 나타낸다.

이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$($a\neq 0$)의 그래프는 포물선이다. 식을 $$y=a(x-h)^{2}+k$$ 의 꼴로 바꾸면 꼭짓점은 $(h,k)$, 대칭축은 직선 $x=h$임을 알 수 있다. $a>0$이면 위로 열린 포물선으로 꼭짓점에서 최솟값 $k$를 갖고, $a<0$이면 아래로 열려 최댓값 $k$를 갖는다. 예를 들어 $y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1$은 $x=2$에서 최솟값 $-1$을 갖는다.

방정식·부등식과 그래프의 관계

방정식 $f(x)=0$의 실수해는 그래프 $y=f(x)$가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표이다. 마찬가지로 $f(x)=g(x)$의 해는 두 함수의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표이다. 두 일차함수 $y={\frac {1}{2}}x+2$, $y=-x+5$가 $(2,3)$에서 만나므로, 방정식 ${\frac {1}{2}}x+2=-x+5$의 해는 $x=2$이다.

부등식 $f(x)>0$은 그래프가 $x$축보다 위에 있는 부분에 대응한다. 예를 들어 $y=x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)$에서는 $x<-1$ 또는 $x>2$일 때 그래프가 $x$축보다 위에 있고, $-1<x<2$일 때에는 $x$축보다 아래에 있다. 식의 인수와 부호를 조사하는 방법이 그래프에서는 교점과 위치의 관계로 나타나는 것이다. 다만 그림만으로 읽은 교점은 근삿값일 수 있으므로, 정확한 값을 구할 때에는 식의 계산을 함께 사용한다.

지수와 로그로의 확장

 지수함수 및 로그함수 문서를 참고하십시오.

다항식에서는 문자가 거듭제곱의 밑에 있고 지수가 음이 아닌 정수로 고정되어 있다. 이와 달리 지수함수 $y=a^{x}$에서는 지수 자체가 변수이다. 실수 범위에서는 $a>0$을 가정하며, 보통 $a\neq 1$인 경우를 다룬다. 예를 들어 매번 두 배가 되는 양은 $2^{x}$와 같은 식으로 표현된다.

로그는 지수로 나타낸 관계를 거꾸로 읽는 방법이다. $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$일 때 $$a^{x}=b\quad \Longleftrightarrow \quad x=\log _{a}b$$ 이다. 따라서 $2^{x}=8$의 해는 $x=3$이며, 같은 관계를 $\log _{2}8=3$으로 쓸 수 있다. 지수·로그방정식은 다항방정식과는 다른 성질을 이용하지만, 식이 정의되는 조건을 확인하고 동치인 식으로 바꾸어 푼다는 점은 같다.

역사

 대수학 § 역사 및 수학사 문서를 참고하십시오.

오늘날 초등대수학에서 다루는 계산 방법은 현대적인 문자 표기보다 먼저 발전하였다. 고대 바빌로니아의 수학에는 직사각형의 넓이와 두 변의 길이 차이에서 변의 길이를 구하는 문제처럼, 지금의 표기로는 이차방정식이 되는 문제와 계산 절차가 남아 있다. 당시에는 이를 오늘날과 같은 문자식으로 쓰지는 않았다. 디오판토스는 《산술》에서 미지수와 그 거듭제곱을 약자로 나타내어 방정식 문제를 다루었다.

9세기 알콰리즈미는 일차·이차방정식을 유형별로 정리하고 풀이 방법을 설명했다. 그의 저술은 식과 계산을 말로 서술했으며, 이차방정식의 해법에는 넓이를 이용한 기하학적 설명도 제시했다. 대수학을 뜻하는 영어 algebra는 이 책 제목의 al-jabr에서 유래했다.

문자로 식을 나타내는 방법이 발달하면서 개별적인 수치 문제의 해법을 일반적으로 서술하기 쉬워졌다. 1591년 프랑수아 비에트는 알려진 양과 미지의 양을 모두 문자로 나타내는 표기법을 체계화하였다. 1637년 르네 데카르트의 《기하학》은 기하학 문제에 대수적 방법을 적용하였다. 알려진 양에 $a,b,c$와 같은 알파벳 앞쪽 문자를, 미지수에 $x,y,z$와 같은 뒤쪽 문자를 쓰는 관습도 데카르트의 표기에서 이어졌다.

교육과 응용

 수학 교육 및 수학적 모형 문서를 참고하십시오.

수학 교육에서 초등대수학은 구체적인 수의 계산을 문자를 이용한 일반적인 관계로 확장하는 내용이다. 대한민국의 2022 개정 수학과 교육과정은 ‘변화와 관계’ 영역에서 문자식, 방정식·부등식, 함수를 서로 연결하여 다룬다. 중학교 과정에는 문자의 사용과 일차방정식뿐 아니라 연립일차방정식, 다항식의 곱셈과 인수분해, 이차방정식·이차함수도 포함된다. 고등학교의 공통수학1에서는 다항식의 연산, 나머지 정리, 복소수, 이차방정식의 판별식 등을 다룬다.

이 교육과정은 일상 언어·표·그래프·식 사이의 변환과 풀이의 근거 설명을 강조한다. 방정식이나 부등식으로 구한 해가 실제 문제의 상황에 맞는지도 확인하도록 한다.

실제 문제를 식으로 나타내는 모형화에서는 무엇을 문자로 정하는지와 어떤 조건을 식에 반영하는지가 중요하다. 예를 들어 기본 비용이 5,000원이고 물건 한 개마다 1,000원씩 드는 상황을 가정하면, $n$개를 준비하는 비용은 $C=5000+1000n$원이다. 예산이 12,000원이라면 $5000+1000n\leq 12000$이므로 최대 7개를 준비할 수 있다. 이때 $n$은 개수이므로 음이 아닌 정수라는 조건이 따른다. 실수 부등식의 해를 그대로 답으로 삼는 것이 아니라, 구한 값이 문제의 상황에 맞는지 해석하는 과정까지 포함된다.

같이 보기

• 대수학
• 산술
• 수학 기호
• 해석기하학

참고 문헌

한국어 자료

• 교육부 (2022년 12월 22일). 《수학과 교육과정》 (PDF). 교육부 고시 제2022-33호 별책 8. 교육부. 
• 한국교육방송공사. “수학에서 문자를 왜 사용하나요?”. 《EBSMath》. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• 한국교육방송공사. ““뜻부터” 방정식”. 《EBSMath》. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• 한국교육방송공사. “곱셈공식 <1부>”. 《EBSMath》. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• 한국교육방송공사. “인수분해 공식 1부”. 《EBSMath》. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• 한국교육방송공사. “부등식의 성질을 정복하라”. 《EBSMath》. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• 한국교육방송공사. “일차함수와 일차방정식의 관계”. 《EBSMath》. 2026년 10월 6일에 확인함. 

외국어 자료

• Thomas W. Judson (2025). 〈Preface〉 (영어). 《Abstract Algebra: Theory and Applications》. 
• Lynn Marecek; MaryAnne Anthony-Smith; Andrea Honeycutt Mathis (2020년 4월 22일). 《Elementary Algebra 2e》 (영어). OpenStax. 
• Lynn Marecek; Andrea Honeycutt Mathis (2020년 5월 6일). 《Intermediate Algebra 2e》 (영어). OpenStax. 
• J. J. O'Connor; E. F. Robertson (2000년 12월). “An overview of Babylonian mathematics” (영어). 《MacTutor History of Mathematics》. 세인트앤드루스 대학교. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• J. J. O'Connor; E. F. Robertson (1999년 2월). “Diophantus of Alexandria” (영어). 《MacTutor History of Mathematics》. 세인트앤드루스 대학교. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• J. J. O'Connor; E. F. Robertson (1999년 7월). “Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi” (영어). 《MacTutor History of Mathematics》. 세인트앤드루스 대학교. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• J. J. O'Connor; E. F. Robertson (2000년 1월). “François Viète” (영어). 《MacTutor History of Mathematics》. 세인트앤드루스 대학교. 2026년 10월 6일에 확인함. 
• J. J. O'Connor; E. F. Robertson (2014년 11월). “René Descartes” (영어). 《MacTutor History of Mathematics》. 세인트앤드루스 대학교. 2026년 10월 6일에 확인함. 

외부 링크

• 위키미디어 공용에 초등대수학 관련 미디어 분류가 있습니다.
• EBSMath – 한국어 수학 학습 자료
• 2022 개정 초·중등학교 교육과정 고시 – 교육부 원문 게시물