동치관계

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수학에서, 동치관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 비슷한 성질들을 만족시키는 이항관계이다.

정의[편집]

집합 위의 동치관계 반사관계이자 대칭관계이자 추이관계이항관계이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다.

  • (반사관계) 임의의 에 대하여,
  • (대칭관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면,
  • (추이관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면

동치류와 몫집합[편집]

집합 위에 동치관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 동치관계 에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class) 는 그 원소와 동치인 원소들의 집합이다 즉,

집합 에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set) 에 대한 동치류들의 집합이다. 즉,

[편집]

  • 임의의 집합 위의 등호 관계
  • 도형 집합 위의 닮음 관계
  • 사람들의 집합 위의, 같은 생일을 갖는 관계

반례[편집]

  • 공집합이 아닌 집합 위의 공관계는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다.
  • 실수 집합 위의 순서 관계 는 대칭관계가 아닌 반사관계이자 추이관계이다.
  • 실수 집합 위의 이항관계 은 추이관계가 아닌 반사관계이자 대칭관계이다.

성질[편집]

표준 사상[편집]

집합 위의 동치관계로부터, 표준사상을 구성할 수 있다. 즉, 집합 위의 동치관계 에 대하여, 함수

표준사상이라고 한다.

반대로, 전사함수 에 대하여, 이항관계

는 동치관계이며, 그 몫집합은

이다.

집합의 분할[편집]

집합 위의 동치관계와 그 집합의 분할 사이에는 자연적인 일대일 대응이 존재한다. 즉, 다음과 같다.

집합 위의 동치관계 에 대하여, 그 몫집합 의 분할이다. 즉,

  • 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.

반대로, 집합 의 분할 에 대하여, 이항관계

는 동치관계이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]