일차 방정식

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일차 방정식의 그래프의 예시

수학에서, 일차 방정식(一次方程式, 영어: linear equation) 또는 선형 방정식(線型方程式)은 최고차항의 차수가 1을 넘지 않는 다항 방정식을 뜻한다. 일차 방정식의 변수는 하나뿐일 수도, 둘 이상일 수도 있다. 수학적 모델링에 필요한 비선형 방정식은 흔히 보다 풀기 쉬운 일차 방정식으로 근사하여 다뤄진다.

일변수 일차 방정식[편집]

변수가 하나뿐인 일차 방정식은 단순히 식을 정리하여 풀이할 수 있다. 하나의 변수 를 갖는 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

그 풀이는 다음과 같은 경우로 나뉜다.

  • 만약 이라면, 유일한 해 를 가진다.
  • 만약 , 이라면, 이 방정식은 어떤 해도 가지지 않는다. 즉, 불능 방정식이다.
  • 만약 , 이라면, 이 방정식은 모든 수를 해로 가지며, 부정 방정식에 속한다.

일차 방정식의 예는 다음과 같다.

  • 의 해는 이다.
  • 의 해는 존재하지 않는다.
  • 의 해는 임의의 수이다.

이변수 일차 방정식[편집]

두 변수 에 대한 일차 방정식은 에 대한 일차항과 상수항만을 포함하며, 와 같은 비선형항을 포함해서는 안된다. 두 변수의 계수가 모두 0인 경우를 제외하면 평면 위의 직선을 해집합으로 한다. 또한 의 계수가 0인 경우를 제외하면 일차 함수의 영점을 구하는 문제와 동치이다. 이변수 일차 방정식의 표현 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 평면 위의 직선의 방정식을 표현하는 방법과도 같다.

일반적인 꼴[편집]

모든 이변수 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

여기서 이어야 한다. 기하학적 관점에서 이 방정식은 고정된 벡터 와의 스칼라곱 이 상수 인 벡터 의 집합을 나타낸다. 이 방정식은 행렬을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

만약 직선이 놓인 직교 좌표 평면을 복소평면으로 간주한다면, 점은 두 실수의 순서쌍 대신 하나의 복소수 로 쓸 수 있다. 이 경우 직선의 방정식의 일반 꼴을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 0이 아닌 복소수, 실수, 켤레 복소수이다. 이는 직선의 방정식의 일반 꼴에서 , , 를 취하여 얻을 수 있다.

기울기와 y절편이 주어진 경우[편집]

기울기 y절편 이 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

이는 일반 꼴로부터 , 를 취하여 얻을 수 있다. 수직선(y축과 평행하는 직선)(기울기가 무한대인 직선)의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

한 점과 기울기가 주어진 경우[편집]

직선이 지나는 점 과 기울기 가 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

수직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

두 점이 주어진 경우[편집]

직선 위에 놓인 두 점 이 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

이를 행렬식을 통해 표현하면 다음과 같다.

모든 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다. 수직선이 아닐 경우 이므로, 다음과 같은 꼴로도 쓸 수 있다.

두 절편이 주어진 경우[편집]

x절편 y절편 (, )가 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

이는 직선의 방정식의 일반적인 꼴에 , 을 대입하여 얻는다. x축에 평행하거나, y축에 평행하거나, 원점을 지나는 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

매개 변수 방정식[편집]

직선을 하나의 매개 변수가 실수 범위에서 변화할 때 이 매개 변수에 의존하는 점이 그리는 궤적으로서 표현할 수 있다. 예를 들어, 점 과 그 직선의 방향을 나타내는 벡터 가 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식은 다음과 같다.

이는 다음과 같이 간략히 쓸 수도 있다.

여기서 이다. 이는 다음과 동치이다.

여기서 벡터곱, 영벡터이다.

또한, 두 점 이 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식은 다음과 같다.

이를 간략히 표현하면 다음과 같다.

여기서 이다. 매개 변수를 사용하지 않는 표현은 다음과 같다.

다변수 일차 방정식[편집]

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. 개의 변수 에 대한 일차 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 상수이다. 즉, 일차 함수영점을 구하는 방정식이다. 이러한 방정식의 해는 가 모두 0인 경우를 제외하면 차원 유클리드 공간의 아핀 초평면(즉, 차원 아핀 부분 공간)을 이루게 된다.

같이 보기[편집]