수학 에서 스칼라배 (-倍, scalar multiple ) 또는 스칼라 곱셈 (scalar multiplication )은 스칼라 와 벡터 의 순서쌍 에 벡터를 대응시키는 한 연산이다. 유클리드 공간 의 경우, 벡터의 길이를 스칼라의 절댓값 을 배수로 하여 늘이거나 줄이고, 방향은 스칼라가 양수라면 그대로 두고 음수면 반대로 바꾼다.
스칼라배 는 벡터 공간 을 정의하는 데이터 가운데 하나다. 스칼라배는 구체적인 벡터 공간의 구체적인 스칼라배 연산을 뜻하기도 한다. 예를 들어, 유클리드 공간
R
n
=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:
x
1
,
…
,
x
n
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\colon x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} \}}
에서, 임의의 스칼라
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
a
⋅
x
=
(
a
x
1
,
…
,
a
x
n
)
{\displaystyle a\cdot \mathbf {x} =(ax_{1},\dots ,ax_{n})}
스칼라배는 연산 기호를 생략하여
a
x
{\displaystyle a\mathbf {x} }
유클리드 공간의 스칼라배는 다른 대부분 연산들과 잘 호환된다. 예를 들어,
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
⋅
{\displaystyle \cdot }
스칼라곱 ).
0
x
=
a
0
=
0
{\displaystyle 0\mathbf {x} =a\mathbf {0} =\mathbf {0} }
1
x
=
x
{\displaystyle 1\mathbf {x} =\mathbf {x} }
(
a
b
)
x
=
a
(
b
x
)
{\displaystyle (ab)\mathbf {x} =a(b\mathbf {x} )}
(
a
+
b
)
x
=
a
x
+
b
x
{\displaystyle (a+b)\mathbf {x} =a\mathbf {x} +b\mathbf {x} }
a
(
x
+
y
)
=
a
x
+
a
y
{\displaystyle a(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\mathbf {x} +a\mathbf {y} }
(
−
a
)
x
=
a
(
−
x
)
=
−
a
x
{\displaystyle (-a)\mathbf {x} =a(-\mathbf {x} )=-a\mathbf {x} }
a
(
x
⋅
y
)
=
(
a
x
)
⋅
y
=
x
⋅
(
a
y
)
{\displaystyle a(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )=(a\mathbf {x} )\cdot \mathbf {y} =\mathbf {x} \cdot (a\mathbf {y} )}
만약
n
=
3
,
7
{\displaystyle n=3,7}
×
{\displaystyle \times }
벡터곱 ).
a
(
x
×
y
)
=
(
a
x
)
×
y
=
x
×
(
a
y
)
{\displaystyle a(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(a\mathbf {x} )\times \mathbf {y} =\mathbf {x} \times (a\mathbf {y} )}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
3
⋅
(
4
,
5
)
=
(
3
⋅
4
,
3
⋅
5
)
=
(
12
,
15
)
{\displaystyle 3\cdot (4,5)=(3\cdot 4,3\cdot 5)=(12,15)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
10
⋅
(
11
,
12
,
13
)
=
(
10
⋅
11
,
10
⋅
12
,
10
⋅
13
)
=
(
110
,
120
,
130
)
{\displaystyle 10\cdot (11,12,13)=(10\cdot 11,10\cdot 12,10\cdot 13)=(110,120,130)}
