크라메르 공식

선형대수학에서, 크라메르 공식(Cramer公式, 영어: Cramer's rule)은 선형연립방정식의 해를 행렬식으로 표현하는 정리이다.

방정식이 많은 경우의 실제 해의 계산에 있어서는 그리 유용하지 않지만, 피봇팅(pivoting)이 필요하지 않은 경우 작은 크기의 행렬에서는 가우스 소거법보다 훨씬 효율적이다. 크라메 공식은 연립방정식의 해를 외재적으로 표현하기 때문에 이론의 전개에 유용하다.

역사

스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

정의

연립방정식이 다음과 같은 행렬간의 곱으로 표현된다고 하자.

$Ax=c$

위의 식에서 정사각행렬 $A$는 역행렬을 갖고, 벡터 $x$는 $(x_{i})$를, 벡터 $c$는 $(c_{i})$를 성분으로 갖는 열벡터이다.

그렇다면 크라메르 공식은 다음과 같다.

$x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}$

식에서 $A_{i}$는 $A$의 $i$번째 열을 열벡터$c$로 대체한 행렬을 말한다.

2차 행렬에서의 크라메르 공식

2×2 행렬에서 공식을 적용해 보자.

주어진 연립방정식이 다음과 같을 때,

$ax+by=e$

$cx+dy=f$,

이 식은

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}$

로 쓸 수 있으며, 공식을 적용하면

$x={{\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={ed-bf \over ad-bc}$

$y={{\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={af-ec \over ad-bc}$

가 된다.

예

다음과 같이 2개의 연립방정식이 주어졌을 때,

$y=x,y=2x-1$

$x-y=0$

$2x-y=1$

$x={{\begin{vmatrix}0&-1\\1&-1\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}1&-1\\2&-1\end{vmatrix}}}={0-(-1) \over -1-(-2)}={1 \over 1}=1$

$y={{\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}1&-1\\2&-1\end{vmatrix}}}={1-0 \over -1-(-2)}={1 \over 1}=1$

따라서, $y=x,y=2x-1$는 $x=1,y=1$인 좌표$(1,1)$에서 만나는 교점이 된다.

응용

크라메르 공식은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 $F(x,y,u,v)=0\,$, $G(x,y,u,v)=0\,$이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, $x=X(u,v)$, $y=Y(u,v)$라 정의한다.

여기서 $\partial x/\partial u$의 방정식을 찾는 것은 크라메르 공식으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

$dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0$

$dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0$

$dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv$

$dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv$

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0$

$dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0$

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}$

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}$

따라서, 크라메르 공식을 적용하면 다음과 같다.

${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

${\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}$

유사하게 ${\frac {\partial x}{\partial v}}$, ${\frac {\partial y}{\partial u}}$, ${\frac {\partial y}{\partial v}}$의 공식들도 유도할 수 있다.

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