크라메르 공식

선형대수학에서, 크라메르 공식(Cramer公式, 영어: Cramer's rule) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크라메르 공식에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

정의

연립 일차 방정식

$Ax=b$

에서, $A$가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 공식이라고 한다.

$x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}={\frac {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &b_{1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &b_{2}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &b_{n}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &a_{2j}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nj}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}\qquad (j=1,\dots ,n)$

여기서 $A_{j}$는 $A$의 $j$번째 열을 $b$로 대신하여 얻는 행렬이다.

증명

연립 일차 방정식

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}$

$\vdots$

$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}$

의 계수 행렬 $A$의 $(i,j)$-여인자를 $C_{ij}$라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.

$a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots +a_{nk}C_{nj}={\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}$

$b_{1}C_{1j}+b_{2}C_{2j}+\cdots +b_{n}C_{nj}=\det A_{j}$

이에 따라, 각 $i$번째 방정식에 $C_{ij}$을 곱한 뒤 모두 합하면

$\det A\cdot x_{j}=\det A_{j}$

를 얻는다. $\det A\neq 0$이므로, 양변을 $\det A$로 나누면

$x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}$

를 얻는다.

예

2개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

$ax+by=e$

$cx+dy=f$

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

$x={\frac {\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {ed-bf}{ad-bc}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {af-ec}{ad-bc}}$

3개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

$ax+by+cz=j$

$dx+ey+fz=k$

$gx+hy+iz=l$

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

$x={\frac {\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$

응용

미분기하학

크라메르 공식은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 $F(x,y,u,v)=0\,$, $G(x,y,u,v)=0\,$이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, $x=X(u,v)$, $y=Y(u,v)$라 정의한다.

여기서 $\partial x/\partial u$의 방정식을 찾는 것은 크라메르 공식으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

$dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0$

$dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0$

$dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv$

$dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv$

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0$

$dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0$

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}$

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}$

따라서, 크라메르 공식을 적용하면 다음과 같다.

${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

${\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}$

유사하게 ${\frac {\partial x}{\partial v}}$, ${\frac {\partial y}{\partial u}}$, ${\frac {\partial y}{\partial v}}$의 공식들도 유도할 수 있다.

역사

스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

같이 보기

• 사다리꼴 행렬

외부 링크

• “Cramer rule”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cramer's rule”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cramer's rule”. 《PlanetMath》 (영어).