선형대수학 에서 크라메르 법칙 (Cramer法則, 영어 : Cramer's rule ) 또는 크라메르 공식 은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식 의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬 과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식 의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크라메르 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법 에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.
연립 일차 방정식
A
x
=
B
{\displaystyle Ax=B}
에서,
A
{\displaystyle A}
가 정사각 행렬 이며, 행렬식 이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙 이라고 한다.
x
j
=
det
A
j
det
A
=
|
a
11
⋯
b
1
⋯
a
1
n
a
21
⋯
b
2
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
⋯
b
n
⋯
a
n
n
|
|
a
11
⋯
a
1
j
⋯
a
1
n
a
21
⋯
a
2
j
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
⋯
a
n
j
⋯
a
n
n
|
(
j
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}={\frac {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &b_{1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &b_{2}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &b_{n}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &a_{2j}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nj}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}\qquad (j=1,\dots ,n)}
여기서
A
j
{\displaystyle A_{j}}
는
A
{\displaystyle A}
의
j
{\displaystyle j}
번째 열을
B
{\displaystyle B}
로 대신하여 얻는 행렬이다.
연립 일차 방정식
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
{\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}}
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
{\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
=
b
n
{\displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}}
의 계수 행렬
A
{\displaystyle A}
의
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,j)}
-여인자 를
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}}
라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개 에 따라 다음이 성립한다.
a
1
k
C
1
j
+
a
2
k
C
2
j
+
⋯
+
a
n
k
C
n
j
=
{
det
A
k
=
j
0
k
≠
j
{\displaystyle a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots +a_{nk}C_{nj}={\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}}
b
1
C
1
j
+
b
2
C
2
j
+
⋯
+
b
n
C
n
j
=
det
A
j
{\displaystyle b_{1}C_{1j}+b_{2}C_{2j}+\cdots +b_{n}C_{nj}=\det A_{j}}
이에 따라, 각
i
{\displaystyle i}
번째 방정식에
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}}
을 곱한 뒤 모두 합하면
det
A
⋅
x
j
=
det
A
j
{\displaystyle \det A\cdot x_{j}=\det A_{j}}
를 얻는다.
det
A
≠
0
{\displaystyle \det A\neq 0}
이므로, 양변을
det
A
{\displaystyle \det A}
로 나누면
x
j
=
det
A
j
det
A
{\displaystyle x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}}
를 얻는다.
2개의 방정식의 경우 [ 편집 ]
연립 일차 방정식
a
x
+
b
y
=
e
{\displaystyle ax+by=e}
c
x
+
d
y
=
f
{\displaystyle cx+dy=f}
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
x
=
|
e
b
f
d
|
|
a
b
c
d
|
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
,
y
=
|
a
e
c
f
|
|
a
b
c
d
|
=
a
f
−
e
c
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {ed-bf}{ad-bc}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {af-ec}{ad-bc}}}
3개의 방정식의 경우 [ 편집 ]
연립 일차 방정식
a
x
+
b
y
+
c
z
=
j
{\displaystyle ax+by+cz=j}
d
x
+
e
y
+
f
z
=
k
{\displaystyle dx+ey+fz=k}
g
x
+
h
y
+
i
z
=
l
{\displaystyle gx+hy+iz=l}
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
x
=
|
j
b
c
k
e
f
l
h
i
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
,
y
=
|
a
j
c
d
k
f
g
l
i
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
,
z
=
|
a
b
j
d
e
k
g
h
l
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}
미분기하학 [ 편집 ]
크라메르 법칙은 미분기하학 에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,}
,
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,}
이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고,
x
=
X
(
u
,
v
)
{\displaystyle x=X(u,v)}
,
y
=
Y
(
u
,
v
)
{\displaystyle y=Y(u,v)}
라 정의한다.
여기서
∂
x
/
∂
u
{\displaystyle \partial x/\partial u}
의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.
먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.
d
F
=
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
+
∂
F
∂
u
d
u
+
∂
F
∂
v
d
v
=
0
{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}
d
G
=
∂
G
∂
x
d
x
+
∂
G
∂
y
d
y
+
∂
G
∂
u
d
u
+
∂
G
∂
v
d
v
=
0
{\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}
d
x
=
∂
X
∂
u
d
u
+
∂
X
∂
v
d
v
{\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}
d
y
=
∂
Y
∂
u
d
u
+
∂
Y
∂
v
d
v
{\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}
dF, dG에 dx와 dy를 대입하면
d
F
=
(
∂
F
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
u
+
∂
F
∂
u
)
d
u
+
(
∂
F
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
v
+
∂
F
∂
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}
d
G
=
(
∂
G
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
u
+
∂
G
∂
u
)
d
u
+
(
∂
G
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
v
+
∂
G
∂
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}
u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
∂
F
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
u
=
−
∂
F
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}
∂
G
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
u
=
−
∂
G
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}
∂
F
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
v
=
−
∂
F
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}
∂
G
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
v
=
−
∂
G
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}
따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.
∂
x
∂
u
=
|
−
∂
F
∂
u
∂
F
∂
y
−
∂
G
∂
u
∂
G
∂
y
|
|
∂
F
∂
x
∂
F
∂
y
∂
G
∂
x
∂
G
∂
y
|
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}
이것은 두 개의 야코비안 항이다.
∂
x
∂
u
=
−
(
∂
(
F
,
G
)
∂
(
y
,
u
)
)
(
∂
(
F
,
G
)
∂
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}
유사하게
∂
x
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}
,
∂
y
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}
,
∂
y
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}}
의 공식들도 유도할 수 있다.
스위스 수학자 가브리엘 크라메르 (Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년 )에게서 유래한다.
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