행사다리꼴행렬 (Row Echelon Form matrix, 약자 REF)이라고도 불리는 사다리꼴행렬(echelon form matrix)은 가우스 소거법 및 가우스 조단 소거법 알고리즘을 통해서 알 수 있듯이, 모든 성립하는 연립방정식으로부터 첨가 행렬 의 과정을 거쳐 해를 갖는 행사다리꼴행렬(REF) 또는 기약행 사다리꼴행렬(Reduced Row Echelon Form,약자 RREF)로 변환할 수 있다.[1]
이것은, 선형 대수학 에서 행렬 이 가우스 소거법으로 인해 사다리꼴(에쉴론,echelon) 형태의 모양을 갖는다는 것을 의미한다.
사다리꼴 행렬(Echelon form matrix)은 가우스 소거법이 행과 열에 대해 작동한다는 것을 의미한다. 바꾸어 말하면 행렬이 행의 형태로 다루어지는 경우 행 사다리꼴 형태의 행렬 모양을 갖게 됨으로써 이처럼 일반적으로 행에 대한 사다리꼴 행렬이 고려되지만 여전히 열 사다리꼴 행렬(column echelon form matrix)의 동등한 성질은 행사다리꼴형식의 모든 성질을 전치시킴으로써 얻어낼 수도 있다.[2]
또한, 연립방정식의 풀이가 행렬식의 과정을 통해서 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬에 대한 풀이로 귀결될 수 있다면 데카르트 좌표평면 상의 경우를 포함해서 수식에 의한 (대수적 ) 연립방정식보다 상대적으로 쉽고 빠른 결과에 대한 정보를 얻을 수 있게되는데,
이러한 사다리꼴행렬 변환처리는 오늘날 컴퓨터에 의한 그래픽처리 등에 있어서 헤밀턴 의 사원수 와 함께 주요한 이슈이다.[3]
사다리꼴행렬은 삼각행렬 의 특수한 경우이다.
행렬, 특히 행사다리꼴행렬(REF)에서,
모든
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
모든
0
{\displaystyle 0}
선행 계수 (최고차 계수)는 항상 그 위 행의 선행 계수의 오른쪽에 있다. (일부 문헌에서는 선행 계수를
1
{\displaystyle 1}
[4] 이 두 조건은 선행 계수 아래의 열에 있는 모든 항이
0
{\displaystyle 0}
[5]
행사다리꼴행렬(REF)의 두 조건을 모두 만족하고 다음의 조건을 만족할 때 기약행 사다리꼴행렬이라고 한다.[6]
→
{\displaystyle {\color {black}{\rightarrow }}}
선행 계수
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
이러한 행렬식의 과정에서, 행렬의 많은 속성은 행 및 커널(Kernel) 과 같은 행 단위 형식으로부터 추론할 수 있다.
사다리꼴행렬의 형태의 예 [ 편집 ]
[
x
x
x
x
0
x
x
x
0
0
x
x
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x\\0&x&x&x\\0&0&x&x\end{array}}\right]}
[
x
x
x
x
x
0
0
x
x
x
0
0
0
x
x
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x\\0&0&0&x&x\end{array}}\right]}
[
x
x
x
x
x
x
0
0
x
x
x
x
0
0
0
0
x
x
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x&x\\0&0&0&0&x&x\end{array}}\right]}
[
0
0
0
0
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}0&0\\0&0\end{array}}\right]}
[
x
x
0
x
0
x
0
0
1
x
0
x
0
0
0
0
1
x
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&0&x&0&x\\0&0&1&x&0&x\\0&0&0&0&1&x\end{array}}\right]}
[
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]}
행 사다리꼴행렬변환 [ 편집 ]
M
=
(
2
1
1
5
4
−
6
0
−
2
−
2
7
2
9
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\4&-6&0&-2\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}}
첫째 열을 사다리꼴로 변형시키기 위해 첫째 행을 이용하여 나머지 행들을 계산한다.
M
=
(
2
1
1
5
4
−
(
2
×
2
)
−
6
−
(
2
×
1
)
0
−
(
2
×
1
)
−
2
−
(
2
×
5
)
−
2
7
2
9
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\4-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{2}})&-6-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{1}})&0-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{1}})&-2-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{5}})\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}}
M
=
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
−
2
7
2
9
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}}
M
=
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
−
2
−
(
−
1
×
2
)
7
−
(
−
1
×
1
)
2
−
(
−
1
×
1
)
9
−
(
−
1
×
5
)
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\0&-8&-2&-12\\-2-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{2}})&7-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{1}})&2-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{1}})&9-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{5}})\end{pmatrix}}}
M
=
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
0
8
3
14
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&8&3&14\end{pmatrix}}}
둘째 열을 사다리꼴로 변형하기 위해 둘째 행을 이용하여 마지막 행을 계산한다.
M
=
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
0
−
(
−
1
×
0
)
8
−
(
−
1
×
−
8
)
3
−
(
−
1
×
−
2
)
14
−
(
−
1
×
−
12
)
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\{\color {blue}{0}}&{\color {blue}{-8}}&{\color {blue}{-2}}&{\color {blue}{-12}}\\0-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{0}})&8-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-8}})&3-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-2}})&14-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-12}})\end{pmatrix}}}
M
=
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
0
0
1
2
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&0&1&2\end{pmatrix}}}
이렇게 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.
(
2
1
1
5
4
−
6
0
−
2
−
2
7
2
9
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\4&-6&0&-2\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}}
(
2
1
1
5
4
+
(
−
2
×
2
)
−
6
+
(
−
2
×
1
)
0
+
(
−
2
×
1
)
−
2
+
(
−
2
×
5
)
−
2
7
2
9
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\4+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{2}})&-6+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{1}})&0+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{1}})&-2+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{5}})\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}}
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
−
2
7
2
9
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}}
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
−
2
+
(
1
×
2
)
7
+
(
1
×
1
)
2
+
(
1
×
1
)
9
+
(
1
×
5
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\0&-8&-2&-12\\-2+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{2}})&7+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{1}})&2+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{1}})&9+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{5}})\end{pmatrix}}}
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
0
8
3
14
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&8&3&14\end{pmatrix}}}
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
0
+
(
1
×
0
)
8
+
(
1
×
−
8
)
3
+
(
1
×
−
2
)
14
+
(
1
×
−
12
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\{\color {blue}{0}}&{\color {blue}{-8}}&{\color {blue}{-2}}&{\color {blue}{-12}}\\0+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{0}})&8+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-8}})&3+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-2}})&14+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-12}})\end{pmatrix}}}
(
2
1
1
5
0
−
8
−
2
−
12
0
0
1
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&0&1&2\end{pmatrix}}}
이렇게도 같은 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.[7]
사다리꼴행렬의 성질 [ 편집 ] 가우스 소거법 을 사용해서,
다음과 같은 행렬
M
{\displaystyle M}
I
{\displaystyle I}
첨가 행렬 로 계산하면,
역행렬
M
−
1
{\displaystyle M^{-1}}
M
=
(
−
1
1
2
3
−
1
1
−
1
3
4
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\end{pmatrix}}}
기본행연산 을 가하면, 다음과 같다.
(
M
|
I
)
→
(
−
1
1
2
3
−
1
1
−
1
3
4
|
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
→
(
−
1
1
2
0
2
7
0
2
2
|
1
0
0
3
1
0
−
1
0
1
)
→
(
−
1
1
2
0
2
7
0
0
−
5
|
1
0
0
3
1
0
−
4
−
1
1
)
→
(
1
−
1
−
2
0
1
3.5
0
0
1
|
−
1
0
0
1.5
0.5
0
0.8
0.2
−
0.2
)
→
(
1
−
1
0
0
1
0
0
0
1
|
0.6
0.4
−
0.4
−
1.3
−
0.2
0.7
0.8
0.2
−
0.2
)
→
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
|
−
0.7
0.2
0.3
−
1.3
−
0.2
0.7
0.8
0.2
−
0.2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\ M&\vert &I\end{pmatrix}}&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&2&2\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-1&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&0&-5\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-4&-1&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&-2\\0&1&3.5\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}-1&0&0\\1.5&0.5&0\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}0.6&0.4&-0.4\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}}
따라서
M
−
1
{\displaystyle M^{-1}}
M
−
1
=
(
−
0.7
0.2
0.3
−
1.3
−
0.2
0.7
0.8
0.2
−
0.2
)
{\displaystyle M^{-1}={\begin{pmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{pmatrix}}}
16세기와 17세기 이후 들어 가우스 가 제안한 연립방정식 행렬의 삼각행렬 로의 변형을 위한 행사다리꼴행렬인 가우스 소거법 에 대하여 1888년 조르단 은 좀더 강한 변형법으로 가우스-조르단 소거법 인 기약행사다리꼴행렬 을 제안한 것으로 잘 알려져있지만 프랑스의 동시대의 수학자 클라센(Clasen) 역시 같은 해에 발표한 이와 관련한 자료를 그의 논문에서 볼 수 있다. 조르단과는 독립적으로 기약행사다리꼴행렬을 연구하여 발표한 것으로 여겨진다.[8] [9]
이러한 행렬식 (determinant)들은 행,열 및 커널(Kernel)과 같은 행열단위 형식인 배열원소들을 통해서 행렬 (matrix)의 많은 속성을 보여줌으로써 순수한 행렬 개념을 정립하는데 많은 기여를 하였다.[10]
같이 보기 [ 편집 ]
↑ “보관된 사본” . 2015년 3월 16일에 원본 문서 에서 보존된 문서. 2017년 5월 31일에 확인함 . ↑ https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EB%B3%B8%ED%96%89%EB%A0%AC ↑ http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=5036 [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )] ↑ See, for instance, Leon (2009 , 13쪽) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFLeon2009 (help )
↑ Meyer 2000 , 44쪽 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFMeyer2000 (help ) ↑ 행사다리꼴행렬 정의 ↑ Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 102-103쪽. ISBN 978-89-966211-8-8 ↑ Althoen, Steven C.; McLaughlin, Renate (1987), “Gauss–Jordan reduction: a brief history”, 《The American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) 94 (2): 130–142, doi :10.2307/2322413 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2322413 ↑ CLASEN Bernard – Isidore, 1888, « Sur une nouvelle méthode de résolution des équations linéaires et sur l’application de cette méthode au calcul des déterminants », Annales de la Société scientifique de Bruxelles (2), 12, 251 – 281.(http://gfol1.lareq.com/download/The%CC%81ore%CC%80me_de_De%CC%81composition_de_Cholesky_ws1022334435.pdf [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )] )
↑ 행력식의 역사
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x\\0&x&x&x\\0&0&x&x\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afd5c7b11df3a7d4a78fa4264f93e6dad83df7f)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x\\0&0&0&x&x\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb20f9c7d73854a501107e2437942df6dd95152a)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x&x\\0&0&0&0&x&x\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cf726bcd34f2625ac34d9dfe53238ac35c5ca6)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}0&0\\0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9533ea17037e89deaee899f679d257ab9381aa2f)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}x&x&0&x&0&x\\0&0&1&x&0&x\\0&0&0&0&1&x\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971af9d43fb78f7b3d1fb41a0b62887df1896ce3)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915aad6722048a3522ea3d943642744491b9e7ae)
