소행렬식

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소행렬식(minor determinant)은 행렬식의 하위의 부분들로서 그 합이 전체 행렬식과 같도록 전개할 수 있다.

임의의 정사각행렬행렬에서,
를 전체 행렬식으로 예약해보면,
행렬의 성분 의 소행렬식 와 여인자 는 각각,
행렬의 여인자의 성분(entry,원소)는
이 되겠다.
행렬의 성분 의 소행렬식 와 여인자 는 각각,
행렬의 여인자의 성분(entry,원소)는
이 되겠다.

행렬식 연산의 한 방법으로 이와같이 전체 행렬식을 그 하위의 작은 행렬식으로 쪼개어서 다시 합치는 전개 방식을 라플라스 전개 또는 여인자 전개(餘因子展開, cofactor expansion)라고 한다면,

따라서 소행렬식은 전체행렬식을 여인자 전개한 결과의 작은 하위 행렬식들이 된다.

이러한 임의의 전체 행렬식 에서의 소행렬식들과의 구조적 연관성은 공통인자로서 소행렬식을 통해 행렬을 이해하는 중요한 원리를 제공하지만, 행렬에의한 행렬를 소행렬식으로 갖는 임의의 상위에 존재하는 전체 행렬식의 구조적 연관성의 전제을 제약하지는 않는다. 오히려, 확장된 정보를 제공한다.[1]

또한 계수 및 부호 그리고 행렬의 배열 원소(인자) 출현 규칙성으로 종합되는 구조적 가독성으로 직관적인면에서, 이상의 고차 행렬식 연산에 효과적이다.[2][3]

를 전체 행렬식이라고 가정했을때,아래는 의 소행렬식들과의 계층적 관계를 보여준다.

이처럼 소행렬식들은 전체행렬식에대해 재귀성(재귀적 연산)을 갖을수있다.[4][5]

소행렬식 연산에 대한 관련 표현 공식들[편집]

임의의 정사각행렬를 예약했을때,

따라서, 소행렬식 의 여인자 속성이 적용된행과 열을 지워서 나머지로 얻어지는 행렬들의 구조식이며,

이러한 여인자 속성으로 전개된 소행렬식은 지워지는 행과 열의 교차 원소를 행렬식앞으로 나오게 해서 계수(스칼라)로 갖는다.[6][7]

여인자 또는 을 값으로 하는 계수 부호 를 곱한 것으로 전개된다.

이처럼, 소행렬식은 계수 및 부호 그리고 행렬의 배열 원소 출현이 규칙적으로 구성되는 구조적 속성의 연관성으로 열의 까지 표현될 수도 있다.

계수있는 개의 여인자속성의 들에 의한 역(逆) 구성과정

의 연산[편집]

의 연산은 개항을 갖는다.

4차 방정식의 판별식[편집]

소행렬식라플라스 전개에의한 실베스터 행렬4차방정식 판별식 유도[편집]

차방정식에서 4차 방정식의 판별식실베스터 행렬 의 소행렬식에 의해 의 초기출현 항 수를 가지나 최종적으로는 개 항의 결과물로 정리된다.

에 대한 실베스터 행렬