에르미트 행렬

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수학에서 에르미트 행렬(Hermite行列, Hermitian matrix) 또는 자기 수반 행렬(自己隨伴行列, self-adjoint matrix)은 자기 자신과 켤레 전치가 같은 복소수 정사각 행렬이다. 실수 대칭 행렬의 일반화이다.

정의[편집]

복소수 행렬 가 다음 조건을 만족시키면, 에르미트 행렬이라고 한다.

즉,

여기서 켤레 전치, 켤레 복소수, 전치 행렬이다.

성질[편집]

에르미트 행렬의 대각 원소는 항상 실수이다.

증명:

가 에르미트 행렬이라고 하자. 그렇다면, 에 대하여,

이므로,

이다. 즉,

에르미트 행렬의 고윳값은 언제나 실수가 된다.

증명:

가 에르미트 행렬 의 고윳값이라고 하자. 그렇다면,

인 고유 벡터 가 존재한다. 그렇다면,

이므로,

이다. 즉, 이다.

에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.

증명:

가 에르미트 행렬 의 고윳값 에 대한 고유 벡터라고 하자. 그렇다면,

이므로,

이다.

두 에르미트 행렬의 합 역시 에르미트 행렬이며, 가역 에르미트 행렬의 역행렬 역시 에르미트 행렬이다. 그러나 두 에르미트 행렬의 곱이 에르미트 행렬일 필요는 없다. 사실, 두 에르미트 행렬 의 곱 가 에르미트 행렬일 필요충분조건은 이다. 특히, 에르미트 행렬 의 거듭제곱 은 에르미트 행렬이다.

[편집]

예를 들어, 다음과 같은 행렬은 에르미트 행렬이다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]