아다마르 행렬

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선형대수학에서, 아다마르 행렬(Hadamard行列, 영어: Hadamard matrix)은 모든 성분이 ±1이며, 행벡터들과 열벡터들이 각각 서로 직교하는 정사각 행렬이다.[1][2][3]

정의[편집]

실수 성분 정사각 행렬 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬이라고 한다.

  • 모든 성분이 이며, 직교 행렬이다.
  • 모든 성분이 이며, 모든 행벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 에 대하여 이다. 즉, 이다.
  • 모든 성분이 이며, 모든 열벡터가 서로 직교한다. 즉, 임의의 에 대하여 이다. 즉, 이다.
  • 모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수이며, 이다.

여기서 크로네커 델타이다.

아다마르 설계[편집]

첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 표준형 아다마르 행렬(標準型Hadamard行列, 영어: standard Hadamard matrix)이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 −1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다.

표준형 아다마르 행렬 이 주어졌을 때,

  1. 첫째 행과 첫째 열을 제거하고,
  2. 성분을 으로 치환하자.

그렇다면, 성분이 0 또는 1인 정사각 행렬을 얻는다.

만약 이 4의 배수일 경우, 이 행렬은 -블록 설계의 결합 행렬을 이루며,

이다. 즉,

  • 개의 블록이 있으며,
  • 모든 점은 개의 블록에 속하며,
  • 서로 다른 임의의 두 점은 개의 블록에 공통적으로 속한다.

이를 아다마르 설계(Hadamard設計, 영어: Hadamard design)라고 한다.

반대로, -블록 설계가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.

성질[편집]

존재[편집]

임의의 자연수 에 대하여, 아다마르 행렬이 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

이거나, 또는 은 4의 배수이다.

이 조건이 필요 충분 조건이라는 추측은 아다마르 추측(Hadamard推測, 영어: Hadamard conjecture)이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 다만, 적어도 에 대해서는 위 조건이 필요 충분 조건이다.

아다마르 행렬이 존재하기 위한 알려진 충분 조건은 다음이 있다.

  • 은 다음과 같은 꼴의 양의 정수들의 곱이다.
    • 2
    • , , 소수의 거듭제곱
    • , , 소수의 거듭제곱

행렬식[편집]

행렬 공간 을 정의하자. 그렇다면, 아다마르 부등식(영어: Hadamard inequality)에 따르면,

이다.

아다마르 행렬의 행렬식이다. 즉, 만약 아다마르 행렬이 존재한다면, 이는 위에서 행렬식 절댓값 함수 를 최대화한다.

정칙 아다마르 행렬[편집]

아다마르 행렬 초과량(超過量, 영어: excess)은 그 모든 성분들의 합이다.

이는 다음과 같은 상계를 갖는다.

아다마르 행렬 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 정칙 아다마르 행렬(영어: regular Hadamard matrix)이라고 한다.

  • 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.

정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수이다. 즉, 또는 의 꼴이다.

연산[편집]

만약 가 아다마르 행렬이라면, 역시 아다마르 행렬이다. 보다 일반적으로, 아다마르 행렬에 다음 연산을 가해도 아다마르 행렬을 이룬다.

  • 임의의 한 열에 −1을 곱하기
  • 임의의 한 행에 −1을 곱하기
  • 열의 순서를 뒤바꾸기
  • 행의 순서를 뒤바꾸기

실베스터 구성[편집]

임의의 두 아다마르 행렬

이 주어졌을 때, 그 크로네커 곱

은 역시 아다마르 행렬이다. 특히,

를 사용하여, 크기 의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다. 이를 실베스터 구성(영어: Sylvester’s construction)이라고 한다.

이에 따라,

로부터 시작하여 크기의 아다마르 행렬들을 구성할 수 있다.

페일리 구성[편집]

페일리 구성(영어: Paley construction)은 유한체를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다.

가 홀수 소수의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수

를 정의하자. (여기서 유한체이다.)

이제, 임의의 전단사 함수

를 고르자. 그렇다면, 행렬

를 정의할 수 있다. 이를 야콥스탈 행렬(영어: Jacobsthal matrix)이라고 한다. 만약 일 경우 은 제곱수이며, 대칭 행렬이다 (). 반면, 만약 일 경우 은 제곱수가 아니며, 반대칭 행렬이다 ().

이제, 행렬

을 정의할 수 있다. 여기서

이다.

만약 일 경우, 아다마르 행렬이다.

만약 일 경우, 의 각 성분을

로 치환하면, 아다마르 행렬을 얻는다.

[편집]

1×1 행렬

은 아다마르 행렬이다. 이는 추가로 정칙 아다마르 행렬이다.

2×2 행렬

은 표준형 아다마르 행렬이지만, 정칙 아다마르 행렬이 아니다.

역사[편집]

1867년에 제임스 조지프 실베스터 크기의 아다마르 행렬을 최초로 구성하였다.[4] 이후 1893년에 자크 아다마르가 행렬의 행렬식절댓값의 최댓값의 상계를 발표하였으며,[5] 이 때문에 이를 포화시키는 행렬이 “아다마르 행렬”이라고 불리게 되었다.

1933년에 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907~1933)가 유한체를 사용한 페일리 구성을 발견하였다.[6]

참고 문헌[편집]

  1. Hedayat, A.; Wallis, W. D. (1978년 11월). “Hadamard matrices and their applications”. 《The Annals of Statistics》 (영어) 6 (6): 1184–1238. ISSN 0090-5364. JSTOR 2958712. 
  2. Agaian, S. S. (1985). 《Hadamard matrices and their applications》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1168. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-16056-4. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/BFb0101073. 
  3. Seberry, Jennifer; Yamada, Mieko (1992년 6월). 〈Hadamard matrices, sequences, and block designs〉 (PDF). Dinitz, Jeffrey H.; Stinson, Douglas R. 《Contemporary design theory: a collection of surveys》. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization (영어). Wiley. 431–560쪽. ISBN 978-0-471-53141-8. 
  4. Sylvester, James Joseph (1867). “Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers”. 《Philosophical Magazine》 (영어) 34: 461–475. 
  5. Hadamard, Jacques (1893). “Résolution d’une question relative aux déterminants”. 《Bulletin des Sciences Mathématiques》 (프랑스어) 17: 240–246. JFM 25.0221.02. 
  6. Paley, Raymond Edward Alan Christopher (1933년 4월). “On orthogonal matrices”. 《Journal of Mathematics and Physics》 (영어) 12 (1–4): 311–320. JFM 59.0114.04. Zbl 0007.10004. doi:10.1002/sapm1933121311. 

외부 링크[편집]