실베스터 행렬

가환대수학에서 실베스터 행렬(Sylvester行列, 영어: Sylvester matrix)은 두 다항식의 공약 다항식에 대한 정보를 담고 있는 정사각 행렬이다.

정의

가환환 $R$ 계수를 갖는 두 0이 아닌 다항식 $p,q\in R[x]$의 실베스터 행렬은 $(\deg p+\deg q)\times (\deg p+\deg q)$ 정사각 행렬이다. 구체적으로, 만약

$p(x)=\sum _{i=0}^{m}p_{i}x^{i}$

$q(x)=\sum _{i=0}^{n}q_{i}x^{i}$

$p_{m}q_{n}\neq 0$

라면, $p$와 $q$의 실베스터 행렬은 다음과 같은 $(m+n)\times (m+n)$ 행렬이다.

$S(p,q)={\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0&0\\0&p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0\\0&0&\cdots &0&p_{m}&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots &p_{1}&p_{0}\\q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0&0\\0&q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0\\0&0&\cdots &0&q_{n}&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots &q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}$

성질

가환환 계수를 갖는 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식은 두 다항식의 종결식과 같다. 가환환 계수의 다항식의 판별식은 자기 자신과 그 도함수의 종결식을 사용하여 나타낼 수 있으므로, 역시 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있다.

두 다항식 $p,q\in R[x]$에 대하여,

$\deg(\gcd(p,q))=\deg p+\deg q-\operatorname {rank} S(p,q)$

이다. 여기서 $\operatorname {rank}$는 행렬의 계수이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 두 다항식 $p,q\in K[x]$가 근을 공유하지 않을 필요충분조건은 $S(p,q)$가 가역 행렬인 것이며, $p\mid q$일 필요충분조건은 $\operatorname {rank} S(p,q)=\deg q$이다.

역사

제임스 조지프 실베스터가 도입하였다. 실베스터는 판별식을 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있음을 보였다.^:149

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylvester matrix” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.