종결식

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가환대수학에서, 종결식(終結式, 영어: resultant)은 두 다항식이 근을 공유하는지 여부를 나타내는 값이며, 실베스터 행렬행렬식이다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 를 계수로 갖는 두 다항식

종결식은 다음과 같다.

즉, 의 근들과 의 근들의 모든 차들의 곱이다. 이 경우, 근이 중복된다면 중복수만큼 거듭하여 계산한다.

이는 의 계수들의 다항식이며, 따라서 대수적으로 닫힌 체가 아닌 임의의 가환환의 계수를 갖는 다항식환에서 정의할 수 있다.

성질[편집]

임의의 가환환 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • (등급 가환성)
  • (승법성)

임의의 가환환 계수의 종결식은 실베스터 행렬행렬식으로 계산할 수 있다.

대수적으로 닫힌 체 및 0이 아닌 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 는 적어도 하나의 근을 공유한다.
  • 의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

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외부 링크[편집]