대수적으로 닫힌 체

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추상대수학에서, 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 영어: algebraically closed field)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 이다.

정의[편집]

K에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.

  • 다항식환 K[t]의 임의의 원소 p(t)\in K[t]에 대하여, p(t_0)=0t_0\in K가 항상 적어도 하나가 존재한다.
  • K[x]기약 다항식이 모두 일차식이다.
  • K대수적 확대K 자신밖에 존재하지 않는다.
  • 임의의 K^n에 대해, K^n \to K^n선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

K대수적 폐포(代數的閉包, 영어: algebraic closure) \bar KK를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 \bar K/K이다. 주어진 체 K의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(영어: canonical)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.

분류[편집]

두 대수적으로 닫힌 체 KK'에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 p와 초월 차수 \kappa로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은

\overline{\mathbb F_p(\{x_i\}_{i\in I})}

또는

\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in I})}

의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 2^{\aleph_0}인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,

\mathbb C\cong\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in 2^{\aleph_0}})}

이다.

성질[편집]

절대 초월 차수가 기수 \kappa인 대수적으로 닫힌 체 K집합의 크기는 다음과 같다.

|K|=\max\{\kappa,\aleph_0\}

즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 \kappa>\aleph_0이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

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표수 0[편집]

양의 표수[편집]

모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 a_1, a_2, \cdots, a_n인 경우, 다항식 (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1은 해를 갖지 않는다. 소수 p의 크기를 가진 유한체 \mathbb F_p의 대수적 폐포 \bar{\mathbb F}_p귀납적 극한

\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim \mathbb F_{p^n}

이다. 즉, 만약 체의 확대

\mathbb F_{p^n}\hookrightarrow\mathbb F_{p^{kn}}

집합론부분집합으로 간주하여

\mathbb F_{p^n}\subset\mathbb F_{p^{kn}}

로 쓴다면,

\bar{\mathbb F}_p=\bigcup_{n=1}^\infty\mathbb F_{p^n}

이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]