체론에서, 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.
두 체
와
이 주어졌을 때,
에서
로 가는 확대는
에서
로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)
체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서
를
의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우
를
의 부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로
을
의 확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다.
이
의 확대체라는 것은 기호로
로 쓴다.
일련의 체
들이 서로 체의 확대

를 이룰 때,
를 체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.
체의 확대
가 주어졌을 때,
은
위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대
의 차수(次數, 영어: degree)는
의
-벡터 공간으로서의 차원이며,
로 표기한다.
차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.
초월 차수[편집]
체의 확대
및
의 부분 집합
이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식
에 대하여,
인 다항식은
밖에 없다면,
를 대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다.
의 초월 차수(영어: transcendence degree)는
에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며,
와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.
의 초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis)
는
가 대수적인 대수적 독립 집합
이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약
라면,
를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.
생성원으로 정의되는 확대[편집]
체의 확대
및
의 부분 집합
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
속에서
로 생성되는
의 확대
는
를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는
의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다.
가,
의 원소들에 대한
계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면
는
의 분수체와 동형이다.
![K(S)=\operatorname {Frac}K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea7477713c08e6d6a3f893ae5951951915e06e2)
또한, 만약
가 유한 집합이며,
이 대수적 확대라면
는 유한 확대이다.
체의 확대
속에서 두 부분체


가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는
이다.
체 노름과 체 대각합[편집]
유한 확대
가 주어졌다고 하자. 그렇다면
은 유한 차원
-벡터 공간이며, 임의의 원소
에 대하여
은
-벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm)
과 체 대각합(體對角合, 영어: field trace)
이라고 한다.




보다 일반적으로,
의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는
계수의 일계수 다항식이다.
![\chi_{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot)\in K[x]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6086667075b5309b83db71697a31211e5efc242f)
이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.
![\chi_{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname T_{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots+(-1)^{[L:K]}\operatorname N_{L/K}(a)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d605bd7365f6ab03b803f28b22b8ba1cf7285e)
체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의
에 대하여, 그 최소 다항식이
라고 하고, 그 근들의 중복집합이
라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
![\operatorname N_{L/K}(a)=\left(\prod_{i=1}^n\sigma_i(a)\right)^{[L:K(a)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f115a94b462e652ab07996715c900c2dd031fb6)
![\operatorname T_{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum_{i=1}^n\sigma_i(a)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e472c193ae22ea5dc635b68da95b558ec3248355)
만약
가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.
만약
가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.


여기서
는 갈루아 군이다.
체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대
가 존재한다면,
와
의 표수는 서로 일치한다.

차수와 초월 차수[편집]
확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대
및
이 주어졌을 때, 합성 확대
의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
![[M:K]=[L:K][M:L]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd1da20c2901909c1ded472071958e81a794701)

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.
초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이다.
체 노름과 체 대각합[편집]
노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의
에 대하여

이며, 만약
이라면

이다. 또한, 만약 체의 확대
및
이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

대수적 수체
에서, 모든 대수적 정수
의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

또한, 다음이 성립한다.

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여,
의 임의의 아이디얼
에 대하여

로 정의한다.
체의 확대
가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저
가 주어졌다고 하자. 그렇다면
는 순수 초월 확대이며,
는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.
체
의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체
와 동형이며, 이는
의 집합의 크기
에 따라 완전히 분류된다.
체
의 대수적 확대의 분류는
위의
차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약
가 대수적으로 닫힌 체이며
인 경우, 이는
위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.
위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.
대수적 폐포[편집]
임의의 체
에 대하여, 대수적 폐포
및 분해 가능 폐포
를 정의할 수 있으며, 또한
의 표수에 따라서
를 다음과 같이 정의하자.

여기서
는 크기
의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.
유리 함수 · 형식적 로랑 급수[편집]
임의의 체
에 대하여, 유리 함수체
및 형식적 로랑 급수체
를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
![[K(x):K]=\aleph _{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344d25224550308a14e75e99e9ec8645da21bc5a)

![[K((x)):K]=2^{{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12b95c22099d799c2a7b1c85d3cdfcf06bff014)
유리수 · 실수 · 복소수[편집]
유리수체
, 실수체
, 복소수체
는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
![[{\mathbb R}:{\mathbb Q}]=2^{{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc8bacc8a6f7c1a79bfc01ca09055a254217deb)

![[{\mathbb C}:{\mathbb R}]=2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0d230d77b8b6b954c39a9bd67d9ccb31e5547f)

체의 확대
에서의 체 노름은 다음과 같다.

이다.
유리수체의 확대[편집]
유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며,
나
등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.
원주율
및 자연 로그의 밑
는 초월수이므로,
와
는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나
가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉,
는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.
![[{\mathbb Q}(\pi ):{\mathbb Q})]=[{\mathbb Q}(e):{\mathbb Q}]=[{\mathbb Q}(\pi ,e):{\mathbb Q}]=\aleph _{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e00f0b0f49bb032b997e0875ad1ef1c6d367c2d)


이차 수체
에서의 체 노름은 다음과 같다.
![\operatorname N_{\mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q}\colon a+\sqrt nb\mapsto(a+\sqrt nb)(a-\sqrt nb)=a^2-nb^2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30444752bf2e138538657b63242da06c9e337861)
이다.
p진수체[편집]

이 부분의 본문은
p진수입니다.
소수
가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체
를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

여기서
는 p진수체이며,
는 그 대수적 폐포이며,
는 그 완비화이다.
는 복소수체
와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.
![[{\mathbb Q}_{p}:{\mathbb Q}]=2^{{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eade29153e296c81ed2bfbd7163ccc2d8afb0c89)
유한체[편집]

이 부분의 본문은
유한체입니다.
소수
가 주어졌을 때, 표수
의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

여기서
는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.
![[{\mathbb F}_{{p^{{n+1}}}}:{\mathbb F}^{p}]=p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e9179d93e44d14460bbdb08ef53731388dcec7)
![[{\bar {{\mathbb F}}}_{p}:{\mathbb F}_{{p^{n}}}]=\aleph _{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feab0de64a960ffbd0c5a94c9964c33b48af6320)
대수다양체의 유리 함수체[편집]
대수적으로 닫힌 체
위의 대수다양체
가 주어졌을 때,
위의 유리 함수체

는
의 확대이다. 이 경우,
의 쌍유리 동치류는 확대
로부터 완전히 결정된다. 특히,
의 크룰 차원은
의 초월 차수와 같다.

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.
차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대
이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

여기서
는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로
좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며,
위의 올은
이다.
개의 분기점들은
의 근 및 (만약
인 경우) 무한대
에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대
에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

이는 바이어슈트라스 타원 함수가
를 만족시키기 때문이다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]