체의 확대

체론에서, 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의

두 체 $K$와 $L$이 주어졌을 때, $K$에서 $L$로 가는 확대는 $K$에서 $L$로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 $K$를 $L$의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 $K$를 $L$의 부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로 $L$을 $K$의 확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. $L$이 $K$의 확대체라는 것은 기호로 $L/K$로 쓴다.

일련의 체 $K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}$들이 서로 체의 확대

$K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}$

를 이룰 때, $\{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}$를 체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.

차수

체의 확대 $L/K$가 주어졌을 때, $L$은 $K$ 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 $L/K$의 차수(次數, 영어: degree)는 $L$의 $K$-벡터 공간으로서의 차원이며, $[L:K]$로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

초월 차수

체의 확대 $L/K$ 및 $L$의 부분 집합 $S\subset L$이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 $p\in K[|S|]$에 대하여, $p(S)=0$인 다항식은 $p=0$밖에 없다면, $S$를 대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다. $L/K$의 초월 차수(영어: transcendence degree)는 $L$에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, $\operatorname {trdeg} _{K}L$와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.

$L/K$의 초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis) $S$는 $L/K(S)$가 대수적인 대수적 독립 집합 $S\subset L$이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 $L=K(S)$라면, $L/K$를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.

생성원으로 정의되는 확대

체의 확대 $L/K$ 및 $L$의 부분 집합 $S\subset L$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $L$속에서 $S$로 생성되는 $K$의 확대 $K(S)$는 $S\cup K$를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 $L$의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. $K[S]\subseteq L$가, $S$의 원소들에 대한 $K$ 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 $K(S)$는 $K[S]$의 분수체와 동형이다.

$K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L$

또한, 만약 $S$가 유한 집합이며, $L$이 대수적 확대라면 $K(S)/K$는 유한 확대이다.

체의 확대 $M/K$ 속에서 두 부분체

$K\subseteq L_{1}\subseteq M$

$K\subseteq L_{2}\subseteq M$

가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는 $K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M$이다.

체 노름과 체 대각합

유한 확대 $L/K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $L$은 유한 차원 $K$-벡터 공간이며, 임의의 원소 $a\in L$에 대하여 $a\cdot \colon L\to L$은 $K$-벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm) $\operatorname {N} _{L/K}$과 체 대각합(體對角合, 영어: field trace) $\operatorname {T} _{L/K}$이라고 한다.

$\operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K$

$\operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )$

$\operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K$

$\operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)$

보다 일반적으로, $a\cdot$의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 $K$ 계수의 일계수 다항식이다.

$\chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]$

이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

$\chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)$

체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 $a\in L$에 대하여, 그 최소 다항식이 $p_{a}\in K[x]$라고 하고, 그 근들의 중복집합이 $\{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

$\operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}$

$\operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)$

만약 $L/K$가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 $L/K$가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

$\operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)$

$\operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)$

여기서 $\operatorname {Gal} (L/K)$는 갈루아 군이다.

성질

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 $L/K$가 존재한다면, $K$와 $L$의 표수는 서로 일치한다.

$\exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L$

차수와 초월 차수

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$이 주어졌을 때, 합성 확대 $M/K$의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

$[M:K]=[L:K][M:L]$

$\operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M$

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이다.

체 노름과 체 대각합

노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 $a,b\in L$에 대하여

$\operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)$

이며, 만약 $a\neq 0$이라면

$\operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}$

이다. 또한, 만약 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

$\operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}$

대수적 수체 $K/\mathbb {Q}$에서, 모든 대수적 정수 $a\in {\mathcal {O}}_{K}$의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

$\forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z}$

또한, 다음이 성립한다.

$\forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|$

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, ${\mathcal {O}}_{K}$의 임의의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$에 대하여

$\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|$

로 정의한다.

분류

체의 확대 $L/K$가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 $S\subset L\setminus K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $K(S)/K$는 순수 초월 확대이며, $L/K(S)$는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

체 $K$의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 $K(S)$와 동형이며, 이는 $S$의 집합의 크기 $|S|$에 따라 완전히 분류된다.

체 $K(S)$의 대수적 확대의 분류는 $K$ 위의 $|S|$차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 $K$가 대수적으로 닫힌 체이며 $|S|=1$인 경우, 이는 $K$ 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류

위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

• 갈루아 확대
• 분해 가능 확대
• 정규 확대
• 아벨 확대
• 단순 확대

예

대수적 폐포

임의의 체 $K$에 대하여, 대수적 폐포 ${\bar {K}}$ 및 분해 가능 폐포 $K^{\operatorname {sep} }$를 정의할 수 있으며, 또한 $K$의 표수에 따라서 $K_{0}$를 다음과 같이 정의하자.

$K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}$

여기서 $\mathbb {F} _{p}$는 크기 $p$의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

$K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}$

${\bar {K}}/K$는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

유리 함수 · 형식적 로랑 급수

임의의 체 $K$에 대하여, 유리 함수체 $K(x)=\operatorname {Frac} K[x]$ 및 형식적 로랑 급수체 $K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]$를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

$K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))$

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

$[K(x):K]=\aleph _{0}$

$\operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1$

$[K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}$

유리수 · 실수 · 복소수

유리수체 $\mathbb {Q}$, 실수체 $\mathbb {R}$, 복소수체 $\mathbb {C}$는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

$\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C}$

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

$[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}$

$\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}$

$[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$

$\operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0$

체의 확대 $\mathbb {C} /\mathbb {R}$에서의 체 노름은 다음과 같다.

$\operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}$

이다.

유리수체의 확대

유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$나 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q}$ 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 $\pi$ 및 자연 로그의 밑 $e$는 초월수이므로, $\mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q}$와 $\mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q}$는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 $\{\pi ,e\}$가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, $\mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q}$는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

$[\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}$

$\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1$

$\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}$

이차 수체 $\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q}$에서의 체 노름은 다음과 같다.

$\operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}$

이다.

p진수체

이 부분의 본문은 p진수입니다.

소수 $p$가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 $\mathbb {Q} _{p}$를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

$\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}$

여기서 $\mathbb {Q} _{p}$는 p진수체이며, ${\bar {\mathbb {Q} }}_{p}$는 그 대수적 폐포이며, $\mathbb {C} _{p}$는 그 완비화이다. $\mathbb {C} _{p}$는 복소수체 $\mathbb {C}$와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

$[\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}$

유한체

이 부분의 본문은 유한체입니다.

소수 $p$가 주어졌을 때, 표수 $p$의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

$\mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}$

여기서 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

$[\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p$

$[{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}$

대수다양체의 유리 함수체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$가 주어졌을 때, $X$ 위의 유리 함수체

$L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})$

는 $K$의 확대이다. 이 경우, $X$의 쌍유리 동치류는 확대 $L/K$로부터 완전히 결정된다. 특히, $X$의 크룰 차원은 $L/K$의 초월 차수와 같다.

$\dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L$

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

$n$차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 $K(x_{1},\dots ,x_{n})$이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

$y^{2}=p(x)$

여기서 $p(x)\in K[x]$는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 $x$ 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, $x$ 위의 올은 $\pm {\sqrt {p(x)}}$이다. $2\lceil (\deg p)/2\rceil$개의 분기점들은 $p$의 근 및 (만약 $2\nmid \deg p$인 경우) 무한대 ${\widehat {\infty }}$에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

$K(x,{\sqrt {p(x)}})/K$

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 $K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)$에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

$\mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')$

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 $\wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}$를 만족시키기 때문이다.

참고 문헌

• Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 158 2판. Springer. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001. doi:10.1007/0-387-27678-5. 
• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003. 
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. 

바깥 고리

• “Extension of a field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Tower of fields”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Compositum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Transcendental extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Extension field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Extension field degree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Finite extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transcendental extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transcendental element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transcendence degree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Field extension”. 《nLab》 (영어). 
• “Algebraic extension”. 《nLab》 (영어). 
• “Transcendence degree”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 갈루아 이론
• 유체론
• 분해체