체의 확대

체론에서 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의

두 체 $K$ 와 $L$ 이 주어졌을 때, $K$ 에서 $L$ 로 가는 확대는 $K$ 에서 $L$ 로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 $K$ 를 $L$ 의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 $K$ 를 $L$ 의 부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로 $L$ 을 $K$ 의 확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. $L$ 이 $K$ 의 확대체라는 것은 기호로 $L/K$ 로 쓴다.

일련의 체 $K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}$ 들이 서로 체의 확대

K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}

를 이룰 때, $\{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}$ 를 체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.

차수

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌을 때, $L$ 은 $K$ 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 $L/K$ 의 차수(次數, 영어: degree)는 $L$ 의 $K$ -벡터 공간으로서의 차원이며, $[L:K]$ 로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

초월 차수

체의 확대 $L/K$ 및 $L$ 의 부분 집합 $S\subset L$ 이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 $p\in K[|S|]$ 에 대하여, $p(S)=0$ 인 다항식은 $p=0$ 밖에 없다면, $S$ 를 대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다. $L/K$ 의 초월 차수(영어: transcendence degree)는 $L$ 에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, $\operatorname {trdeg} _{K}L$ 와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.

$L/K$ 의 초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis) $S$ 는 $L/K(S)$ 가 대수적인 대수적 독립 집합 $S\subset L$ 이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 $L=K(S)$ 라면, $L/K$ 를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.

체의 확대 $L/K$ 및 $L$ 의 원소 $a\in L$ 가 주어졌을 때, 만약 $\{a\}$ 가 대수적 독립 집합이라면, $a$ 를 $L/K$ 의 초월 원소(超越元素, 영어: transcendental element)라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 대수적 원소(代數的元素, 영어: algebraic element)라고 한다.

생성원으로 정의되는 확대

체의 확대 $L/K$ 및 $L$ 의 부분 집합 $S\subset L$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $L$ 속에서 $S$ 로 생성되는 $K$ 의 확대 $K(S)$ 는 $S\cup K$ 를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 $L$ 의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. $K[S]\subseteq L$ 가, $S$ 의 원소들에 대한 $K$ 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 $K(S)$ 는 $K[S]$ 의 분수체와 동형이다.

K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L

또한, 만약 $S$ 가 유한 집합이며, $L$ 이 대수적 확대라면 $K(S)/K$ 는 유한 확대이다.

체의 확대 $M/K$ 속에서 두 부분체

K\subseteq L_{1}\subseteq M

K\subseteq L_{2}\subseteq M

가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는 $K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M$ 이다.

체 노름과 체 대각합

유한 확대 $L/K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $L$ 은 유한 차원 $K$ -벡터 공간이며, 임의의 원소 $a\in L$ 에 대하여 $a\cdot \colon L\to L$ 은 $K$ -벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm) $\operatorname {N} _{L/K}$ 과 체 대각합(體對角合, 영어: field trace) $\operatorname {T} _{L/K}$ 이라고 한다.

\operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K

\operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )

\operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K

\operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)

보다 일반적으로, $a\cdot$ 의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 $K$ 계수의 일계수 다항식이다.

\chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]

이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

\chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)

체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 $a\in L$ 에 대하여, 그 최소 다항식이 $p_{a}\in K[x]$ 라고 하고, 그 근들의 중복집합이 $\{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}$ 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}

\operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)

만약 $L/K$ 가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 $L/K$ 가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

\operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)

\operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)

여기서 $\operatorname {Gal} (L/K)$ 는 갈루아 군이다.

성질

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 $L/K$ 가 존재한다면, $K$ 와 $L$ 의 표수는 서로 일치한다.

\exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L

차수와 초월 차수

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$ 이 주어졌을 때, 합성 확대 $M/K$ 의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[M:K]=[L:K][M:L]

\operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 집합의 크기와 같다.

\operatorname {trdeg} _{K}L\geq 1\implies [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}

이다.

증명:

자명하게

\max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}

이므로, $[L:K]\geq |K|$ 임을 보이면 충분하다. 초월 원소 $x\in L$ 를 고르자. 그렇다면,

\left\{{\frac {1}{1+ax}}\colon a\in K\right\}\subseteq L

는 $K$ -선형 독립 집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 $c_{0},\dots ,c_{n-1}\in K$ 및 서로 다른 $a_{0},\dotsc ,a_{n-1}\in K$ 에 대하여,

{\frac {c_{0}}{1+a_{0}x}}+\cdots {\frac {c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}}=0

라고 가정하였을 때

c_{0}=\dotsb =c_{n-1}=0

임을 보여야 한다.

r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_{0},\dotsc ,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc ,a_{n-1})\qquad (i,j=0,\dotsc ,n-1)

라고 하자 ( $e_{n-1,j}$ 는 $(n-1)$ 변수 $j$ 차 기본 대칭 다항식). 그렇다면 가정은

{\begin{aligned}0&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}(1+a_{0}x)\dotsm (1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm (1+a_{n-1}x)\\&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}\end{aligned}}

와 동치이다 . $x$ 가 초월 원소이므로, 이는

\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}=0\qquad (j=0,\dotsc ,n-1)

와 동치이다. 이는 $c_{0},\dots ,c_{n-1}$ 에 대한 연립 일차 방정식이다. 따라서, 계수들의 행렬식이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실,

{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\neq 0

이며, 이는 $n$ 에 대한 수학적 귀납법을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. $n=1$ 의 경우는 자명하다. 이제 $n-1$ 에 대하여 참임을 가정하고, $n$ 의 경우를 생각하자. 가정에 따라 다음이 성립한다.

{\begin{aligned}{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}0&r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\1&r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}{\begin{vmatrix}(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}(a_{n-1}-a_{0})\dotsm (a_{n-1}-a_{n-2}){\begin{vmatrix}r_{n-2,0,0}&\cdots &r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-2,n-2,0}&\cdots &r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(a_{0}-a_{n-1})\dotsm (a_{n-2}-a_{n-1})\prod _{0\leq i<j\leq n-2}(a_{i}-a_{j})\\&=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\end{aligned}}

즉, $n$ 에 대해서도 참이다.

대수적 확대 $M/K$ 의 두 중간체 $K\subseteq L_{1},L_{2}\subseteq M$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.^[1]^{:529, Proposition 21}

[K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]

증명:

우선, $L_{1}/K$ 와 $L_{2}/K$ 가 모두 대수적 확대인 경우를 증명하자. $L_{1}$ 과 $L_{2}$ 의 $K$ -기저 $(a_{i})_{i\in I}$ 및 $(b_{i})_{i\in I}$ 에 대하여, $(a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}$ 가 $K(L_{1}\cup L_{2})$ 를 $K$ -선형 생성함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게

K(L_{1}\cup L_{2})=K(\{a_{i}\}_{i\in I}\cup \{b_{j}\}_{j\in J})

이다. 또한, 이는 자명하게

K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})

꼴의 체들의 합집합이다. 모든 $a_{i_{r}}$ 와 $b_{j_{s}}$ 가 대수적 원소이므로,

{\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}

이다. 마지막으로, 유한 개의 $a_{i_{r}}$ 들의 곱은 $L_{1}$ 의 원소이므로 (유한 개의) $a_{i}$ 들의 $K$ -선형 결합이다. 마찬가지로 유한 개의 $b_{j_{s}}$ 들의 곱은 (유한 개의) $b_{j}$ 들의 $K$ -선형 결합이다. 따라서, $K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]$ 의 원소들은 (유한 개의) $a_{i}b_{j}$ 들의 $K$ -선형 결합이다. 즉, $(a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}$ 는 $K(L_{1}\cup L_{2})$ 의 $K$ -선형 생성 집합이다.

이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, $K(L_{1}\cup L_{2})/K$ 가 초월 확대이며 $L_{1}$ 와 $L_{2}$ 중 하나 이상이 무한 집합이므로

[K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}

이다. 만약 $L_{1}/K$ 와 $L_{2}/K$ 가 둘 다 초월 확대라면,

[L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}

이다. 만약 $L_{1}/K$ 가 대수적 확대이며 $L_{2}/K$ 가 초월 확대라면,

[L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|

이므로

[L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}

이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다.

체 노름과 체 대각합

노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 $a,b\in L$ 에 대하여

\operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)

이며, 만약 $a\neq 0$ 이라면

\operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}

이다. 또한, 만약 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$ 이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

\operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}

대수적 수체 $K/\mathbb {Q}$ 에서, 모든 대수적 정수 $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ 의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

\forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z}

또한, 다음이 성립한다.

\forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, ${\mathcal {O}}_{K}$ 의 임의의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$ 에 대하여

\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|

로 정의한다.

분류

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 $S\subset L\setminus K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $K(S)/K$ 는 순수 초월 확대이며, $L/K(S)$ 는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

체 $K$ 의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 $K(S)$ 와 동형이며, 이는 $S$ 의 집합의 크기 $|S|$ 에 따라 완전히 분류된다.

체 $K(S)$ 의 대수적 확대의 분류는 $K$ 위의 $|S|$ 차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 $K$ 가 대수적으로 닫힌 체이며 $|S|=1$ 인 경우, 이는 $K$ 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류

위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

예

대수적 폐포

임의의 체 $K$ 에 대하여, 대수적 폐포 ${\bar {K}}$ 및 분해 가능 폐포 $K^{\operatorname {sep} }$ 를 정의할 수 있으며, 또한 $K$ 의 표수에 따라서 $K_{0}$ 를 다음과 같이 정의하자.

K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}

여기서 $\mathbb {F} _{p}$ 는 크기 $p$ 의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}

${\bar {K}}/K$ 는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

유리 함수 · 형식적 로랑 급수

임의의 체 $K$ 에 대하여, 유리 함수체 $K(x)=\operatorname {Frac} K[x]$ 및 형식적 로랑 급수체 $K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]$ 를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[K(x):K]=\aleph _{0}

\operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1

[K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}

유리수 · 실수 · 복소수

유리수체 $\mathbb {Q}$ , 실수체 $\mathbb {R}$ , 복소수체 $\mathbb {C}$ 는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C}

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}

[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0

체의 확대 $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ 에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}

이다.

유리수체의 확대

유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 나 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q}$ 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 $\pi$ 및 자연로그의 밑 $e$ 는 초월수이므로, $\mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q}$ 와 $\mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q}$ 는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 $\{\pi ,e\}$ 가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, $\mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q}$ 는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

[\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}

이차 수체 $\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q}$ 에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}

이다.

p진수체

소수 $p$ 가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 $\mathbb {Q} _{p}$ 를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}

여기서 $\mathbb {Q} _{p}$ 는 p진수체이며, ${\bar {\mathbb {Q} }}_{p}$ 는 그 대수적 폐포이며, $\mathbb {C} _{p}$ 는 그 완비화이다. $\mathbb {C} _{p}$ 는 복소수체 $\mathbb {C}$ 와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

[\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}

유한체

소수 $p$ 가 주어졌을 때, 표수 $p$ 의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

\mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}

여기서 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ 는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

[\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p

[{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}

대수다양체의 유리 함수체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 위의 유리 함수체

L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})

는 $K$ 의 확대이다. 이 경우, $X$ 의 쌍유리 동치류는 확대 $L/K$ 로부터 완전히 결정된다. 특히, $X$ 의 크룰 차원은 $L/K$ 의 초월 차수와 같다.

\dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

$n$ 차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 $K(x_{1},\dots ,x_{n})$ 이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

y^{2}=p(x)

여기서 $p(x)\in K[x]$ 는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 $x$ 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, $x$ 위의 올은 $\pm {\sqrt {p(x)}}$ 이다. $2\lceil (\deg p)/2\rceil$ 개의 분기점들은 $p$ 의 근 및 (만약 $2\nmid \deg p$ 인 경우) 무한대 ${\widehat {\infty }}$ 에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

K(x,{\sqrt {p(x)}})/K

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 $K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)$ 에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

\mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 $\wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}$ 를 만족시키기 때문이다.

같이 보기

참고 문헌

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. 치체스터: Wiley. ISBN 0-471-43334-9. MR 2286236. OCLC 248917264. Zbl 1037.00003.

Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 158 2판. Springer. doi:10.1007/0-387-27678-5. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001.
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외부 링크

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“Transcendental extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
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Weisstein, Eric Wolfgang. “Transcendence degree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Field extension”. 《nLab》 (영어).
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[DummitFoote3-1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. 치체스터: Wiley. ISBN 0-471-43334-9. MR 2286236. OCLC 248917264. Zbl 1037.00003.

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