체의 확대

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체론에서, 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의[편집]

이 주어졌을 때, 에서 로 가는 확대에서 로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로 확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. 의 확대체라는 것은 기호로 로 쓴다.

일련의 체 들이 서로 체의 확대

를 이룰 때, 체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.

차수[편집]

체의 확대 가 주어졌을 때, 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 차수(次數, 영어: degree)는 -벡터 공간으로서의 차원이며, 로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

초월 차수[편집]

체의 확대 의 부분 집합 이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 에 대하여, 인 다항식은 밖에 없다면, 대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다. 초월 차수(영어: transcendence degree)는 에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, 와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.

초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis) 가 대수적인 대수적 독립 집합 이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 라면, 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.

생성원으로 정의되는 확대[편집]

체의 확대 부분 집합 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 속에서 로 생성되는 의 확대 를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. 가, 의 원소들에 대한 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 분수체와 동형이다.

또한, 만약 가 유한 집합이며, 이 대수적 확대라면 는 유한 확대이다.

체의 확대 속에서 두 부분체

가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는 이다.

체 노름과 체 대각합[편집]

유한 확대 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 은 유한 차원 -벡터 공간이며, 임의의 원소 에 대하여 -벡터 공간선형 변환이다. 따라서 그 행렬식대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm) 체 대각합(體對角合, 영어: field trace) 이라고 한다.

보다 일반적으로, 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 계수의 일계수 다항식이다.

이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 에 대하여, 그 최소 다항식라고 하고, 그 근들의 중복집합라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

만약 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

여기서 갈루아 군이다.

성질[편집]

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 가 존재한다면, 표수는 서로 일치한다.

차수와 초월 차수[편집]

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 이 주어졌을 때, 합성 확대 의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이다.

체 노름과 체 대각합[편집]

노름은 체의 가역원군군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여

이며, 만약 이라면

이다. 또한, 만약 체의 확대 이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

대수적 수체 에서, 모든 대수적 정수 의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

또한, 다음이 성립한다.

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환크기이다. 이를 일반화하여, 의 임의의 아이디얼 에 대하여

로 정의한다.

분류[편집]

체의 확대 가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 는 순수 초월 확대이며, 는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 와 동형이며, 이는 집합의 크기 에 따라 완전히 분류된다.

의 대수적 확대의 분류는 위의 차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 대수적으로 닫힌 체이며 인 경우, 이는 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류[편집]

위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

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대수적 폐포[편집]

임의의 체 에 대하여, 대수적 폐포 분해 가능 폐포 를 정의할 수 있으며, 또한 의 표수에 따라서 를 다음과 같이 정의하자.

여기서 는 크기 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

유리 함수 · 형식적 로랑 급수[편집]

임의의 체 에 대하여, 유리 함수체 형식적 로랑 급수체 를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

유리수 · 실수 · 복소수[편집]

유리수체 , 실수체 , 복소수체 는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

체의 확대 에서의 체 노름은 다음과 같다.

이다.

유리수체의 확대[편집]

유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 자연 로그의 밑 초월수이므로, 는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, 는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

이차 수체 에서의 체 노름은 다음과 같다.

이다.

p진수체[편집]

소수 가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

여기서 p진수체이며, 는 그 대수적 폐포이며, 는 그 완비화이다. 복소수체 로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

유한체[편집]

소수 가 주어졌을 때, 표수 의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

여기서 는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

대수다양체의 유리 함수체[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 가 주어졌을 때, 위의 유리 함수체

의 확대이다. 이 경우, 쌍유리 동치류는 확대 로부터 완전히 결정된다. 특히, 크룰 차원의 초월 차수와 같다.

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

여기서 는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, 위의 이다. 개의 분기점들은 의 근 및 (만약 인 경우) 무한대 에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 를 만족시키기 때문이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]