분해 가능 확대

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

체론에서, 분해 가능 확대(分解可能擴大, 영어: separable extension)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다.

정의[편집]

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 기약 다항식 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 분해 가능 다항식(分解可能多項式, 영어: separable polynomial)이라고 한다.

  • 모든 체의 확대 에 대하여, 속에서 이다.
  • 인 체의 확대 가 존재한다.
  • 모든 체의 확대 에 대하여, 임은 불가능하다.
  • 형식적 도함수 에 대하여, 이다.

최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 대수적 확대 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 그 최소 다항식 이 분해 가능 다항식이라면 분해 가능 확대라고 한다.

에 대하여, 그 대수적 폐포 속에서, 에 대하여 최소 다항식이 분해 가능한 원소들의 집합 의 부분체를 이루며, 이를 분해 가능 폐포(分解可能閉包, 영어: separable closure)라고 한다. 의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.) 의 분해 가능 확대는 의 최대 갈루아 확대이다.

대수적 확대 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 그 최소 다항식 이 분해 가능 다항식이 아니라면 완전 비분해 확대(完全非分解擴大, 영어: purely inseparable extension)라고 한다.

[편집]

완전체대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대

정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다. 의 최소 다항식은

인데, 에서 이는

와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]