체의 확대

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체론에서, 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의[편집]

KL이 주어졌을 때, K에서 L로 가는 확대K에서 L로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 KL의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 KL부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로 LK확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. LK의 확대체라는 것은 기호로 L/K로 쓴다.

일련의 체 K_0,K_1,\dots,K_n들이 서로 체의 확대

K_0\subseteq K_1\subseteq\cdots\subseteq K_n

를 이룰 때, \{K_i\}_{i=0,1,\dots,n}체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.

차수[편집]

체의 확대 L/K가 주어졌을 때, LK 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 L/K차수(次數, 영어: degree)는 LK-벡터 공간으로서의 차원이며, [L:K]로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

초월 차수[편집]

체의 확대 L/KL의 부분 집합 S\subset L이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 p\in K[|S|]에 대하여, p(S)=0인 다항식은 p=0밖에 없다면, S대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다. L/K초월 차수(영어: transcendence degree)는 L에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, \operatorname{trdeg}_KL와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.

L/K초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis) SL/K(S)가 대수적인 대수적 독립 집합 S\subset L이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 L=K(S)라면, L/K순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.

생성원으로 정의되는 확대[편집]

체의 확대 L/KL부분 집합 S\subset L이 주어졌다고 하자. 그렇다면, L속에서 S로 생성되는 K의 확대 K(S)S\cup K를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 L의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. K[S]\subseteq L가, S의 원소들에 대한 K 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 K(S)K[S]분수체와 동형이다.

K(S)=\operatorname{Frac}K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\ne0\}\subseteq L

또한, 만약 S가 유한 집합이며, L이 대수적 확대라면 K(S)/K는 유한 확대이다.

체의 확대 M/K 속에서 두 부분체

K\subseteq L_1\subseteq M
K\subseteq L_2\subseteq M

가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는 K(L_1\cup L_2)\subseteq M이다.

체 노름과 체 대각합[편집]

유한 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 L은 유한 차원 K-벡터 공간이며, 임의의 원소 a\in L에 대하여 a\cdot\colon L\to LK-벡터 공간선형 변환이다. 따라서 그 행렬식대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm) \operatorname N_{L/K}체 대각합(體對角合, 영어: field trace) \operatorname T_{L/K}이라고 한다.

\operatorname N_{L/K}\colon L\to K
\operatorname N_{L/K}\colon a\mapsto\det(a\cdot)
\operatorname T_{L/K}\colon L\to K
\operatorname T_{L/K}\colon a\mapsto\operatorname{tr}(\cdot a)

보다 일반적으로, a\cdot고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 K 계수의 일계수 다항식이다.

\chi_{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot)\in K[x]

이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

\chi_{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname T_{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots+(-1)^{[L:K]}\operatorname N_{L/K}(a)

체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 a\in L에 대하여, 그 최소 다항식p_a\in K[x]라고 하고, 그 근들의 중복집합\{\sigma_1(a),\dots,\sigma_n(a)\}\in\bar K라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\operatorname N_{L/K}(a)=\left(\prod_{i=1}^n\sigma_i(a)\right)^{[L:K(a)]}
\operatorname T_{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum_{i=1}^n\sigma_i(a)

만약 L/K분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 L/K갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

\operatorname N_{L/K}(a)=\prod_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a)
\operatorname T_{L/K}(a)=\sum_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a)

여기서 \operatorname{Gal}(L/K)갈루아 군이다.

성질[편집]

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 L/K가 존재한다면, KL표수는 서로 일치한다.

\exists L/K\implies \operatorname{char}K=\operatorname{char}L

차수와 초월 차수[편집]

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 L/KM/L이 주어졌을 때, 합성 확대 M/K의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[M:K]=[L:K][M:L]
\operatorname{trdeg}_KM=\operatorname{trdeg}_KL+\operatorname{trdeg}_LM

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이다.

체 노름과 체 대각합[편집]

노름은 체의 가역원군군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 a,b\in L에 대하여

\operatorname N_{L/K}(ab)=\operatorname N_{L/K}(a)\operatorname N_{L/K}(b)

이며, 만약 a\ne 0이라면

\operatorname N_{L/K}(a^{-1})=\operatorname N_{L/K}(a)^{-1}

이다. 또한, 만약 체의 확대 L/KM/L이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

\operatorname{N}_{M/K}=\operatorname{N}_{L/K}\circ\operatorname{N}_{M/L}

대수적 수체 K/\mathbb Q에서, 모든 대수적 정수 a\in\mathcal O_K의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

\forall a\in\mathcal O_K\colon \operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)\in\mathbb Z

또한, 다음이 성립한다.

\forall a\in\mathcal O_K\colon|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)|=|\mathcal O_K/(a)|

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환크기이다. 이를 일반화하여, \mathcal O_K의 임의의 아이디얼 \mathfrak a에 대하여

\operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)=|\mathcal O_K/\mathfrak a|

로 정의한다.

분류[편집]

체의 확대 L/K가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 S\subset L\setminus K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K(S)/K는 순수 초월 확대이며, L/K(S)는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

K의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 K(S)와 동형이며, 이는 S집합의 크기 |S|에 따라 완전히 분류된다.

K(S)의 대수적 확대의 분류는 K 위의 |S|차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 K대수적으로 닫힌 체이며 |S|=1인 경우, 이는 K 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류[편집]

위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

[편집]

대수적 폐포[편집]

임의의 체 K에 대하여, 대수적 폐포 \bar K분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep}}를 정의할 수 있으며, 또한 K의 표수에 따라서 K_0를 다음과 같이 정의하자.

K_0=\begin{cases}
\mathbb F_p&p=\operatorname{char}K>0\\
\mathbb Q&\operatorname{char}K=0
\end{cases}

여기서 \mathbb F_p는 크기 p유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K_0\subseteq K\subseteq K^{\operatorname{sep}}\subseteq\bar K

\bar K/K는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

유리 함수 · 형식적 로랑 급수[편집]

임의의 체 K에 대하여, 유리 함수체 K(x)=\operatorname{Frac}K[x]형식적 로랑 급수체 K((x))=\operatorname{Frac}K[[x]]를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[K(x):K]=\aleph_0
\operatorname{trdeg}_KK(x)=1
[K((x)):K]=2^{\aleph_0}

유리수 · 실수 · 복소수[편집]

유리수체 \mathbb Q, 실수체 \mathbb R, 복소수체 \mathbb C는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

\mathbb Q\subsetneq\mathbb R\subsetneq\mathbb C

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[\mathbb R:\mathbb Q]=2^{\aleph_0}
\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb R=2^{\aleph_0}
[\mathbb C:\mathbb R]=2
\operatorname{trdeg}_{\mathbb R}\mathbb C=0

체의 확대 \mathbb C/\mathbb R에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname N_{\mathbb C/\mathbb R}\colon x+iy\mapsto x^2+y^2=|x+iy|^2

이다.

유리수체의 확대[편집]

유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, \mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q\mathbb Q(\sqrt{-1})/\mathbb Q 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 \pi자연 로그의 밑 e초월수이므로, \mathbb Q[\pi]/\mathbb Q\mathbb Q(e)/\mathbb Q는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 \{\pi,e\}가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, \mathbb Q(\pi,e)/\mathbb Q는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

[\mathbb Q(\pi):\mathbb Q)]=[\mathbb Q(e):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\pi,e):\mathbb Q]=\aleph_0
\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi)=\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(e)=1
\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi,e)\in\{1,2\}

이차 수체 \mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname N_{\mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q}\colon a+\sqrt nb\mapsto(a+\sqrt nb)(a-\sqrt nb)=a^2-nb^2

이다.

p진수체[편집]

소수 p가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 \mathbb Q_p를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

\mathbb Q\subsetneq\mathbb Q_p\subsetneq\bar{\mathbb Q}_p\subsetneq\mathbb C_p

여기서 \mathbb Q_pp진수체이며, \bar{\mathbb Q}_p는 그 대수적 폐포이며, \mathbb C_p는 그 완비화이다. \mathbb C_p복소수체 \mathbb C로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

[\mathbb Q_p:\mathbb Q]=2^{\aleph_0}

유한체[편집]

소수 p가 주어졌을 때, 표수 p의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

\mathbb F_p\subsetneq\mathbb F_{p^2}\subsetneq\cdots\subsetneq\mathbb F_{p^n}\subsetneq\cdots\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim^{n\to\infty}\mathbb F_{p^n}

여기서 \bar{\mathbb F}_p는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

[\mathbb F_{p^{n+1}}:\mathbb F^p]=p
[\bar{\mathbb F}_p:\mathbb F_{p^n}]=\aleph_0

대수다양체의 유리 함수체[편집]

대수적으로 닫힌 체 K 위의 대수다양체 X가 주어졌을 때, X 위의 유리 함수체

L=\Gamma(X,\mathcal K_X)

K의 확대이다. 이 경우, X쌍유리 동치류는 확대 L/K로부터 완전히 결정된다. 특히, X크룰 차원L/K의 초월 차수와 같다.

\dim X=\operatorname{trdeg}_KL

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

n차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 K(x_1,\dots,x_n)이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

y^2=p(x)

여기서 p(x)\in K[x]는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 x 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, x 위의 \pm\sqrt{p(x)}이다. 2\lceil(\deg p)/2\rceil개의 분기점들은 p의 근 및 (만약 2\nmid\deg p인 경우) 무한대 \widehat\infty에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

K(x,\sqrt{p(x)})/K

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 K(x,\sqrt{p(x)})/K(x)에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

\mathbb C(\rho,\sqrt{4\wp^3+g_2\wp+g_3}\rho')

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 \wp'^2=4\wp^3+g_2\wp+g_3를 만족시키기 때문이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]