최소 다항식

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추상대수학에서, 최소 다항식(最小多項式, 영어: minimal polynomial)은 에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.[1]

정의[편집]

에 대한 멱결합 대수 의 원소 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

(만약 가 1을 갖지 않는다면, 이다.) 그렇다면 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.

  • 이다. 이 경우, 초월원이며, 초월 대수이다.
  • 가 되는 일계수 다항식 가 존재한다. 이 경우, 최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, 에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 보다 차수가 더 크다.)

성질[편집]

멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

체의 확대[편집]

체의 확대 에 대하여, 은 가환 -단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, 에서 의 최소 다항식 가 인수 분해가 가능하다면 (), 정역이므로 이거나 이며, 이다. 그러나 의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대 에서, 완전체라면 임의의 에 대하여 의 (대수적 폐포 에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 분해 가능 확대가 아니라고 한다.

행렬[편집]

위의 정사각 행렬의 유한 차원 -단위 결합 대수 에서, 임의의 행렬 은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 에 대하여, 의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 를 포함하는 더 큰 체일 경우, 에서의 최소 다항식과 에서의 최소 다항식은 일치한다.

위의 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
  • 삼각화 가능 행렬이다.

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
  • 대각화 가능 행렬이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라, 의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, 의 최소 다항식의 소인수 분해

라면,

이다.[2]:196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4

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체의 확대 에서, 라면, 이다.

실수체의 확대인 복소수체 에서, 의 최소 다항식은 다음과 같다.

실수 행렬

의 특성 다항식은

이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, 의 최소 다항식 역시

이다.

대수적 수체[편집]

이차 수체 에서, 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 의 최소 다항식은 이다.

위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

원분체 에서, 의 최소 다항식은 원분 다항식(영어: cyclotomic polynomial) 이라고 하며, 다음과 같다.

특히, 소수일 경우

이다.

분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식[편집]

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 에서, 의 최소 다항식은

이다. 이 경우, 위에서

이다. 즉, 는 분해 가능 다항식이 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. Goldberg, Moshe (2007년 8월). “Minimal Polynomials and Radii of Elements in Finite-Dimensional Power-Associative Algebras” (PDF). 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 359 (8): 4055–4072. doi:10.1090/S0002-9947-06-04296-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 20161761. MR 2302523. 
  2. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]