제곱 인수가 없는 정수

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수론에서, 제곱 인수가 없는 정수(제곱 因數가 없는 整數, 영어: squarefree integer, quadratfrei integer)는 1이 아닌 제곱수를 인수로 갖지 않는 양의 정수이다.

정의[편집]

양의 정수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양의 정수를 제곱 인수가 없는 정수라고 한다.

  • 임의의 양의 정수 에 대하여, 만약 이라면 이다.
  • 임의의 양의 정수 에 대하여, 만약 이라면 서로소이다.
  • 이다. 여기서 뫼비우스 함수이다.
  • 크기가 아벨 군들은 모두 서로 동형이다.
  • 은 인수 관계 에 대하여 불 대수를 이룬다.
  • 몫환 은 0개 이상의 들의 (가환환으로서의) 직접곱이다. (0개의 체들의 곱환은 자명환이다.)

제곱 인수가 없는 정수의 목록은 다음과 같다.

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (OEIS의 수열 A5117)

성질[편집]

중심 이항 계수

일 경우 제곱 인수가 없는 정수가 아니다.[1]

함수 를 제곱 인수가 없는 정수 의 수로 정의하자.

그렇다면, 어떤 양의 실수 에 대하여 다음이 성립한다.[2]

만약 리만 가설이 참이라면, 다음이 성립한다.[3][4]

즉, 제곱 인수가 없는 수의 밀도는

이다. 다시 말해, 대략 61%의 양의 정수가 제곱 인수가 없는 정수이다.

참고 문헌[편집]

  1. Granville, Andrew; Olivier Ramaré (1996). “Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients”. 《Mathematika》 (영어) 43: 73–107. MR 1401709. Zbl 0868.11009. doi:10.1112/S0025579300011608. 
  2. Walfisz, A. (1963). 《Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie》 (독일어). 베를린: VEB deutscher Verlag der Wissenschaften. 
  3. Jia, Chao Hua (1993). “The distribution of square-free numbers”. 《Science in China Series A: Mathematics》 (영어) 36 (2): 154–169. 
  4. Pappalardi, Francesco (2003). “A Survey on k-freeness” (PDF) (영어). 

외부 링크[편집]