케일리-해밀턴 정리

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선형대수학에서, 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

정의[편집]

가환환 위의 정사각 행렬 특성 다항식

라고 하자. 여기서 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:194, §6.4, Theorem 4

특히, 일 경우 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.[1]:194, §6.4, Theorem 4

증명[편집]

행렬식을 통한 증명[편집]

가환환

위의 행렬

을 생각하자. 여기서 크로네커 델타이다. 열벡터의 공간 의 표준 기저를 라고 하고, 고전적 수반 행렬라고 하자. 그렇다면,

이다. 따라서 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 이다.[1]:194-196, §6.3

삼각화를 통한 증명[편집]

만약 정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우 분수체대수적 폐포를 취하면 된다.)

우선, 상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면, 의 최소 다항식은

이다. 은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, 는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 을 얻는다.

이제, 이 일반적인 행렬이라고 하자. 가 대수적으로 닫힌 체이므로, 의 최소 다항식 에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 에서 삼각화 가능 행렬이다. 가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬 를 취하자. 그렇다면 의 최소 다항식 역시 이므로,

이다.[1]:204-205, §6.4

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행렬의 거듭제곱[편집]

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

단위행렬(곱셈의 항등원)

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

위의 식을 통해 A4을 계산하면 다음과 같다.

2 × 2 역행렬[편집]

3 × 3 역행렬[편집]

각주[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]