케일리-해밀턴 정리

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선형대수학에서, 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다.[1]

정의[편집]

가환환 위의 정사각 행렬 특성 다항식

라고 하자. 여기서 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 일 경우 특성 다항식은 최소 다항식배수이다.[1]

증명[편집]

행렬식을 통한 증명[편집]

가환환 위의 행렬 를 다음과 같이 정의하자.

여기서 크로네커 델타이다. 또한, 의 표준 기저를 이라고 하자. 그렇다면, 의 정의에 따라

이며, 고전적 수반 행렬라고 하면

이다. 따라서 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 이 성립한다.[1]

삼각형화에 의한 증명[편집]

만약 라면, 케일리-해밀턴 정리를 행렬의 삼각형화를 통해 증명할 수 있다. 행렬이 삼각형화 가능할 필요충분조건은 최소 다항식이 일차 다항식의 곱이라는 것이다. 따라서 모든 대수적 폐포 에서 어떤 삼각 행렬닮음이다. 삼각 행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리는 자명하며, 서로 닮음 행렬의 최소 다항식 및 특성 다항식은 일치한다. 또한 최소 다항식 및 특성 다항식은 체의 확대 아래 불변이다. 따라서 에 대한 케일리-해밀턴 정리 역시 성립한다.[1]

[편집]

1 × 1 행렬[편집]

크기가 인 행렬 의 특성 다항식은 이다. 따라서 케일리-해밀턴 정리

는 자명하다.

2 × 2 행렬[편집]

크기가 인 행렬

의 특성 다항식은

이다. 이 경우의 케일리-해밀턴 정리는

이다.

삼각행렬[편집]

A상삼각행렬이라면(i > j이면 aij = 0), A의 특성다항식은

그러므로

(여기서 Ci = A - aiiI )이때 p(A) = 0임이 다음과 같이 검증된다.

C1C2는 1열이 0벡터인 상삼각행렬
만약 C1Ck가 1 ~ k열이 0인 상삼각행렬이라면, C1Ck + 1은 1 ~ (k + 1)열이 0인 상삼각행렬

응용[편집]

행렬의 거듭제곱[편집]

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

단위행렬(곱셈의 항등원)

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

위의 식을 통해 A4을 계산하면 다음과 같다.

역사[편집]

아서 케일리윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

각주[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]