케일리-해밀턴 정리

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선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)는 가환환(또는 , 복소수체) 위에 정의된 임의의 정사각행렬특성방정식을 만족한다는 정리이다. 아서 케일리윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

서술[편집]

A를 가환환 K 위의 n × n 정사각행렬이라고 하자. A특성다항식은 다음과 같다.

p(x) = \det(xI - A)

여기서 In × n 단위행렬, det는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, p에 행렬 A대입하면 영행렬을 얻는다.

p(A) = 0

다르게는,

로도 서술된다.

특별한 경우[편집]

1 × 1 행렬[편집]

2 × 2 행렬[편집]

삼각행렬[편집]

A상삼각행렬이라면(i > j이면 aij = 0), A의 특성다항식은

p(x) = (x - a_{11})\cdots(x - a_{nn})

그러므로

p(A) = C_1 \cdots C_n

(여기서 Ci = A - aiiI )이때 p(A) = 0임이 다음과 같이 검증된다.

C1C2는 1열이 0벡터인 상삼각행렬
만약 C1Ck가 1 ~ k열이 0인 상삼각행렬이라면, C1Ck + 1은 1 ~ (k + 1)열이 0인 상삼각행렬

증명[편집]

삼각형화에 의한 증명[편집]

A대수적으로 닫힌 체 위의 정사각행렬이라면, A 반드시 삼각형화 가능하다. 따라서 삼각행렬의 경우를 이용해 간단히 증명된다.

A = P^{-1}UP

(U는 상삼각행렬, P는 가역행렬)이라고 하자. U의 특성다항식은 여전히 p이다. 앞선 예시에 따라 p(U) = 0이다. 그리고 p(A) = 0은 p(U) = 0과 동치이다, 이유는

p(A) = P^{-1}p(U)P

이는 곧장 임의의 체에 대한 결론으로 확대된다. 임의의 체는 어떤 대수적으로 닫힌 체의 부분체로서 바라볼 수 있고, p는 체의 확대 하에 불변이기 때문이다.

수반행렬에 의한 증명[편집]

p(A)는, 가환환

\{P(A): P \in K[x]\}

위의 행렬의 행렬식으로 표현 가능하다.

p(A) = \det(\mathbf{B})

여기서

\mathbf{B} = A\mathbf{I} - \mathbf{A}^T = \begin{bmatrix}
A - A_{11}I & -A_{21}I    & \cdots & -A_{n1}I \\
-A_{12}I    & A - A_{22}I & \cdots & -A_{n2}I \\
\vdots      & \vdots      &        & \vdots   \\
-A_{1n}I    & -A_{2n}I     & \cdots & A - A_{nn}I
\end{bmatrix}

B에 대해 분석하면,

A\epsilon_i = \sum_{j=1}^n A_{ji}\epsilon_j

iKn의 표준기저, 1 ≤ in)이므로, 다음이 성립한다.

\mathbf{B}\epsilon = 0,\quad \epsilon = \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{bmatrix}

따라서

0 = \operatorname{adj}(\mathbf{B})(\mathbf{B}\epsilon)
= (\operatorname{adj}(\mathbf{B})\mathbf{B})\epsilon
= (\det(\mathbf{B})\mathbf{I})\epsilon
= \det(\mathbf{B})\epsilon
= p(A)\epsilon

즉 모든 i에 대해 p(Ai = 0이다. 그러므로 p(A) = 0이다.

응용[편집]

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

A^2-5A-2I_2=0

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

A^2-5A-2I_2=0
A^2=5A+2I_2.

위의 식을 통해 A4을 계산하면 다음과 같다.

A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2
A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A
A^4=145A+54I_2.

이 정리는 또한 행렬의 고유 값(eigenvalue)와 고유 벡터(eigenvecter)를 구하는 중요한 도구이다.