케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

정의

가환환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$의 특성 다항식을

$p(x)=\det(x-M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}x^{k}\in K[x]$

라고 하자. 여기서 $\det$는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{:194, §6.4, Theorem 4}

$p(M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}M^{k}=0$

특히, $K$가 체일 경우 $M$의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.^{:194, §6.4, Theorem 4}

증명

행렬식을 통한 증명

가환환

$K[M]=\{q(M)\colon q\in K[x]\}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)$

위의 $n\times n$ 행렬

$N\in \operatorname {Mat} (n;K[M])$

$N_{ij}=\delta _{ij}M-M_{ij}\in K[M]$

을 생각하자. 여기서 $\delta _{ij}$는 크로네커 델타이다. 열벡터의 공간 $K^{n}$의 표준 기저를 $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$라고 하고, $N$의 고전적 수반 행렬을 $\operatorname {adj} N$라고 하자. 그렇다면,

$\sum _{j=1}^{n}N_{ij}e_{j}=0$

$((\operatorname {adj} N)N)_{kj}=\delta _{kj}\det N$

$\det N=p(M)$

이다. 따라서 임의의 $k\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여,

${\begin{aligned}0&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}((\operatorname {adj} N)N)_{kj}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\delta _{kj}(\det N)e_{j}\\&=(\det N)e_{k}\\&=p(M)e_{k}\end{aligned}}$

이다. 즉, $p(M)=0$이다.^{:194-196, §6.3}

삼각화를 통한 증명

만약 $K$가 정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 $K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우 $K$의 분수체의 대수적 폐포를 취하면 된다.)

우선, $M$이 상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면, $M$의 최소 다항식은

$p(x)=(x-M_{11})\cdots (x-M_{nn})$

이다. $M-M_{11}$은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, $(M-M_{11})(M-M_{22})$는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 $p(M)=0$을 얻는다.

이제, $M$이 일반적인 행렬이라고 하자. $K$가 대수적으로 닫힌 체이므로, $M$의 최소 다항식 $p(x)$는 $K$에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 $M$은 $K$에서 삼각화 가능 행렬이다. $G^{-1}MG$가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬 $G\in \operatorname {GL} (n;K)$를 취하자. 그렇다면 $G^{-1}MG$의 최소 다항식 역시 $p(x)$이므로,

$p(M)=Gp(G^{-1}MG)G^{-1}=0$

이다.^{:204-205, §6.4}

예

행렬의 거듭제곱

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},I_{2}^{2}=I_{2},\;A\cdot I_{2}=A\;\;\because I_{2}$는 단위행렬(곱셈의 항등원)

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

$p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2$

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

$A^{2}-5A-2I_{2}=0$

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

$A^{2}-5A-2I_{2}=0$

$A^{2}=5A+2I_{2}$

위의 식을 통해 A⁴을 계산하면 다음과 같다.

$A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}$

$A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A$

$A^{4}=145A+54I_{2}$

2 × 2 역행렬

$A^{-1}={\frac {A-5I_{2}}{2}}~.$

3 × 3 역행렬

$A={\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&3\\3&2&3\\\end{bmatrix}}$

$A^{-1}={\frac {A^{2}-5A-6I_{3}}{4}}~.$

외부 링크

• “Cayley-Hamilton theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.