가환환

가환대수학에서 가환환(可換環, 영어: commutative ring)이란 곱셈이 교환 법칙을 만족시키는 환이다. 가환환과 그 위의 가군을 연구하는 환론의 분야를 가환대수학이라고 한다.

정의

환 $(R,+,\cdot ,0,1)$에서, $(R,+,0)$는 아벨 군을 이루며, $(R,\cdot ,1)$은 모노이드를 이룬다. 만약 $(R,\cdot ,1)$이 가환 모노이드를 이룬다면, $R$를 가환환이라고 한다. 즉, 가환환에서는 모든 $r,s\in R$에 대하여 $rs=sr$이다.

마찬가지로, 유사환 $(R,+,\cdot ,0)$에서, $(R,+,0)$은 아벨 군을 이루며, $(R,\cdot )$은 반군을 이룬다. 만약 $(R,\cdot )$이 가환 반군을 이룬다면, $R$를 가환 유사환(영어: commutative pseudo-ring, commutative ring)이라고 한다.

성질

가환환과 환 준동형의 범주 $\operatorname {CRing}$는 정의에 따라 아핀 스킴의 범주 $\operatorname {Aff}$의 반대 범주와 동치이다.

$\operatorname {CRing} {\stackrel {\operatorname {Spec} }{\simeq }}\operatorname {Aff} ^{\operatorname {op} }$

구체적으로, 이 동치는 환의 스펙트럼 $\operatorname {Spec}$에 의하여 주어진다. 즉, 스킴 이론을 통해 가환환 사이의 연산을 대수기하학적으로 해석할 수 있다.

가환환의 범주는 다음과 같은 성질을 갖는다.

시작 대상	정수환 $\mathbb {Z}$
끝 대상	자명환 $0$
곱	직접곱
쌍대곱	가환환의 자유곱
동등자	집합의 범주에서의 동등자
쌍대동등자	$f,g\colon R\to S$에 대하여, $\operatorname {coeq} (f,g)=S/(f(r)-g(r)\colon r\in R)$

가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$은 환의 범주 $\operatorname {Ring}$의 충만한 부분 범주를 이루며, 모든 극한을 보존시킨다. 즉, 환의 범주에서의 극한은 가환의 범주에서의 극한과 같다. 그러나 쌍대극한은 일반적으로 다르다.

종류

특수한 성질을 갖는 가환환들은 다음이 있으며, 이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

환 ⊋ 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

분류

일반적으로, 모든 가환환을 분류하는 것은 불가능하다. 그러나 대략 다음과 같은 3단계 구조론이 존재한다.

• 임의의 가환환 $R$에 대하여, 영근기 ${\sqrt {(0)}}$에 대한 몫환 $R/{\sqrt {(0)}}$은 축소환을 이룬다.
• 가환환이 축소환인 것은 (0개, 유한 개, 또는 무한 개의) 정역들의 직접곱의 부분환인 것과 동치이다.
• 모든 정역은 그 분수체의 부분환을 이룬다.

즉, 가환환 → 가환 축소환 → 정역 → 체로서, 점점 더 정칙적인 구조로 나타낼 수 있다.

예

가환환의 예로는 다음을 들 수 있다.

• 정수의 집합 $\mathbb {Z}$에 덧셈과 곱셈을 가하면, 가환환을 이룬다.
• 자명환은 가환환이다.
• 모든 불 대수는 가환환으로 여길 수 있다.
• 모든 체는 가환환이다. 대표적인 예로, 유리수체, 실수체, 복소수체 등이 있다.
• 임의의 위상 공간 $X$ 위의 실수값 연속 함수들의 집합 ${\mathcal {C}}(X;\mathbb {R} )$는 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다.

비가환환의 예로는, 실수 행렬환 $\operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$이 있다. 이는 $n\times n$ 정사각 행렬로 구성된 환인데, $n\geq 2$라면 이는 가환환이 아니다.

외부 링크

• “Commutative ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutative ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “CRing”. 《nLab》 (영어).