위상군

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군론에서, 위상군(位相群, 영어: topological group)은 위상이 주어진 으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 연산이 연속 함수임을 말한다.

정의[편집]

G가 인 동시에 위상 공간이라 하자. 이때 군의 연산 G\times G \to G : (x,y)\mapsto xyG\to G : x \mapsto x^{-1}연속 함수일 경우 G를 위상군이라 한다. (여기에서 G\times G곱 위상이 주어진 위상 공간이다.)

범주론의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 집합함수범주군 대상인 것과 마찬가지로, 위상군을 위상 공간연속 함수의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

위상군과 연속 군 준동형들의 범주\operatorname{TopGrp}라고 한다.

성질[편집]

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, 하르 측도라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, 폰트랴긴 쌍대성이 존재한다.

군론적 성질[편집]

위상군 G에서, 항등원을 포함하는 연결 성분 G_0G의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군 G/G_0은 (몫위상을 주면) 완전 분리 공간이다.

위상군 G의 부분군 H\le G에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.

모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다.

위상수학적 성질[편집]

모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 "호모토피 군" \pi_0(G)는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

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모든 이산 위상을 주거나 비이산 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

수론에서, 이델 군갈루아 확대갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)은 자연스럽게 위상군을 이룬다. 대수기하학에서, 에탈 기본군사유한군이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.

모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 위에 유니터리 작용소들의 군 \operatorname U(\mathcal H)작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.

유리수의 덧셈군 \mathbb Q는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.

모든 위상환은 덧셈군으로서 위상군을 이룬다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]