근방 필터

일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, 영어: neighbo(u)rhood filter)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬과 그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(영어: converge)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.

정의

위상 공간 $(X,{\mathcal {T}})$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 근방들의 집합

${\mathcal {N}}_{S}=\uparrow \left({\mathcal {T}}\cap \uparrow S\right)=\{N\subseteq X\colon S\subseteq U\subseteq N,\;U\in {\mathcal {T}}\}$

은 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 속의 필터를 이루며, 이를 $S$의 근방 필터 또는 근방계(近傍系, 영어: neighbo(u)rhood system) ${\mathcal {N}}_{S}$라고 한다. $X$의 점 $x\in X$의 근방 필터는 한원소 집합 $\{x\}$의 근방 필터를 뜻하며, ${\mathcal {N}}_{x}$로 표기한다.

근방 필터 ${\mathcal {N}}_{x}$의 공시작 집합 (즉, $\uparrow {\mathcal {B}}={\mathcal {N}}_{x}$이 되는 부분 집합 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}$)을 $x$의 국소 기저(局所基底, 영어: local base)라고 한다.

필터의 수렴

위상 공간 $X$ 위의 필터 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 및 점 $x\in X$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\mathcal {N}}_{x}\subseteq {\mathcal {F}}$라면, ${\mathcal {F}}$가 $x$로 수렴한다(영어: converge)고 하고,

${\mathcal {F}}\to x$

로 표기한다. 이 경우, $x$를 ${\mathcal {F}}$의 극한(영어: limit)이라고 한다.

보다 일반적으로, $X$ 위의 필터 기저 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 만약 ${\mathcal {N}}_{x}\subseteq \uparrow {\mathcal {B}}$라면, ${\mathcal {B}}$가 $x$로 수렴한다고 한다.

성질

위상 공간 $X$ 위의 자명한 필터 ${\mathcal {P}}(X)$는 모든 점에 수렴한다.

위상 공간 $X$의 모든 점 $x\in X$이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면, $X$를 제1 가산 공간이라고 한다.

분리 공리

위상 공간 $(X,{\mathcal {T}})$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {P}}(X)$ 전체가 아닌, ${\mathcal {P}}(X)$ 위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
• 임의의 두 점 $x,y\in X$에 대하여, $x\neq y$라면, ${\mathcal {N}}_{x}\setminus {\mathcal {N}}_{y}\neq \varnothing$이자 ${\mathcal {N}}_{y}\setminus {\mathcal {N}}_{x}\neq \varnothing$이다.
• 임의의 두 점 $x,y\in X$에 대하여, $x\in U$이자 $y\in V$이며 $U\cap V=\varnothing$인 열린집합 $U,V\in {\mathcal {T}}$가 존재한다.
• 하우스도르프 공간이다.

그물과의 관계

임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.

예

이산 공간 $X$의 점 $x\in X$의 근방 필터는 주 필터 $\uparrow \{x\}$이다. 비이산 공간 $X$의 점 $x\in X$의 근방 필터는 ${\mathcal {N}}_{x}=\{X\}$이다.

거리 공간 $(X,d)$에서, 다음과 같은 집합은 점 $x\in X$의 국소 기저를 이룬다.

$\{\operatorname {ball} (x,1/n)\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\left\{\{y\in X\colon d(x,y)<1/n\}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}$

참고 문헌

• Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901. 

외부 링크

• “Defining system of neighbourhoods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Neighborhood System Base”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Local base”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Topological base”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: neighborhood basis”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: local basis”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2010년 12월 9일). “Ultrafilters in topology”. 《Annoying Precision》 (영어).