내부 (위상수학)

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위상수학에서, 내부(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. 의 내부의 기호는 또는 이다.

정의[편집]

위상 공간 의 부분 집합 내부 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 들의 집합이다.

  • 열린집합 가 존재한다.

내부의 원소를 내부점(內部點, 영어: interior point)이라고 한다.

성질[편집]

열린집합과의 관계[편집]

위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 열린집합이다.

반대로 의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 의 최대 열린부분집합이다.[1]

폐포와의 관계[편집]

내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계외부로 분할할 수 있다.

집합 연산과의 관계[편집]

내부는 유한 교집합을 보존한다.

그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

기저와의 관계[편집]

위상 공간 기저 가 주어졌을 때, 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 가 존재한다.

즉, 에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

[편집]

실수선 의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. 92-101쪽. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

외부 링크[편집]