연속 원순서 집합

순서론에서 연속 원순서 집합(連續原順序集合, 영어: continuous preordered set)은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 연속 격자(連續格子, 영어: continuous lattice)로 불린다.

정의

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 두 원소 $a,b\in P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee D$라면, $a\lesssim d$인 $d\in D$가 존재한다.
• 임의의 순서 아이디얼 $I\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee I$라면, $a\in I$이다.

이 경우, $a$가 $b$를 근사한다(영어: $a$ approximates $b$) 또는 $a$가 $b$보다 훨씬 아래(영어: $a$ is way below $b$)라고 하며, 이를

$a\ll b$

로 적는다.

근사 관계 $\ll$는 추이적 관계이며, $P$가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. $\ll$가 원순서인 것은 $(P,\lesssim )$의 오름 사슬 조건과 동치이다.^{:52, Examples I-1.3(4)}

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 임의의 원소 $a\in L$에 대하여,

$\mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\colon a\ll b\}$

$\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\colon b\ll a\}$

라고 하자. 이는 각각 $P$의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 $P$가 이음 반격자라면, $\mathop {\Downarrow } a$는 상향 집합이다. 그러나 $P$가 만남 반격자이더라도 $\mathop {\Uparrow } a$는 하향 집합이 아닐 수 있다.

원순서 집합 $(P,\lesssim )$가 다음 조건을 만족시키면, 연속 원순서 집합이라고 한다.

• 임의의 $a\in P$에 대하여, $\mathop {\Downarrow } a$는 상향 집합이며, $a=\bigvee \mathop {\Downarrow } a$이다.

성질

순서론적 성질

연속 원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 두 원소 $a,b\in P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee D$라면, $a\ll d$인 $d\in D$가 존재한다.

증명:

둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, $a\ll b$이며, $D\subseteq P$가 상향 집합이며, $b\lesssim \bigvee D$라고 하자.

$I=\bigcup _{d\in D}\mathop {\Downarrow } d$

를 생각하자. $P$가 연속 원순서 집합이므로, $I$는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서 $I$ 역시 순서 아이디얼이다. 또한,

$\bigvee I\gtrsim \bigvee _{d\in D}\bigvee \mathop {\Downarrow } d=\bigvee D\gtrsim b$

이다. 따라서, $a\in I$이다. 즉, $a\ll d$인 $d\in D$가 존재한다.

이를 사용하여, 연속 원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 근사 관계 $\ll$가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.

$\forall a,b\in P\colon a\ll b\implies (\exists c\in P\colon a\ll c\ll b)$

증명:

위 명제에서, $D=\mathop {\Downarrow } b$를 취한다.

dcpo

dcpo $(P,\leq )$의 두 원소 $a,b\in P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:61, Proposition I-1.19(i)}

• $a\ll b$이며, $a\neq b$
• 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee D$라면, $a\ll d$이며 $a\neq d$인 $d\in D$가 존재한다.

따라서, 만약 $P$가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.^{:61, Proposition I-1.19(ii)}

$\forall a,b\in P\colon a\ll b\land a\neq b\implies (\exists c\in P\colon a\ll c\ll b\land a\neq c)$

dcpo $(P,\leq )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:57, Theorem I-1.10}

• 연속 원순서 집합이다.
• 순서 아이디얼의 상한 함수 $\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 $\operatorname {Ideal} (P)$는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다.

구체적으로, 연속 dcpo $(P,\leq )$에 대하여, $\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$의 왼쪽 수반 함자는

${\mathord {\Downarrow }}\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$

${\mathord {\Downarrow }}\dashv {\mathord {\bigvee }}$

이다.

증명:

임의의 연속 dcpo $(P,\leq )$가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다.

• 임의의 $a\in P$에 대하여, $a\leq \bigvee \mathop {\Downarrow } a$
• 임의의 순서 아이디얼 $I\in \operatorname {Ideal} (P)$에 대하여, $\mathop {\Downarrow } \bigvee I\subseteq I$

이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다.

반대로, $(P,\leq )$가 dcpo이며, $f\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$가 $\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$의 왼쪽 수반 함자이며, $a\in P$라고 하자. 그렇다면, $f(a)$는

$a\leq \bigvee f(a)$

인 최소의 $P$의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 $\ll$의 정의에 따라,

$f(a)=\mathop {\Downarrow } a$

이다. 따라서, $P$는 연속 원순서 집합이다.

완비 격자

완비 격자 $L$의 두 원소 $a,b\in L$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 임의의 부분 집합 $A\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\leq \bigvee A$라면, $a\leq \bigvee F$인 유한 부분 집합 $F\subseteq A$가 존재한다.

완비 격자 $L$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 연속 원순서 집합이다.
• 순서 아이디얼의 상한 함수 $\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 $\operatorname {Ideal} (L)$은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.^{:Theorem I-1.10}
• 임의의 상향 집합들의 집합 ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)$에 대하여, $\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$
• 두 원소 격자 $\{0,1\}$의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$의 상 $r(\{0,1\}^{\kappa })$과 동형이다.^{:56, Theorem 44}

증명 (두 번째 조건):

연속 완비 격자 $L$이 주어졌다고 하자. ${\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Ideal} (L)$이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자.

$\bigvee \bigwedge {\mathcal {I}}=\bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}\bigvee I$

를 보이면 족하다. $\leq$은 자명하다. ${\mathord {\Downarrow }}\dashv {\mathord {\bigvee }}$이므로, 반대 방향의 부등식은

$\bigwedge {\mathcal {I}}\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}\bigvee I$

를 보이면 족하다. 이는 임의의 $I\in {\mathcal {I}}$에 대하여

$I\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigvee I\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigwedge _{J\in {\mathcal {I}}}\bigvee J$

이므로 참이다.

반대로, $L$이 완비 격자이며, $\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$이 임의의 하한을 보존한다고 하자. $\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$의 왼쪽 수반 함자 $f\colon L\to \operatorname {Ideal} (L)$를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자.

$f\colon a\mapsto \bigwedge \left\{I\in \operatorname {Ideal} (L)\colon a\leq \bigvee I\right\}$

이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다.

• 임의의 $I\in \operatorname {Ideal} (L)$에 대하여, $f\left(\bigvee I\right)\subseteq I$
  • 이는 $I\in \left\{J\in \operatorname {Ideal} (L)\colon \bigvee I\leq \bigvee J\right\}$이므로 참이다.
• 임의의 $a\in L$에 대하여, $a\leq \bigvee f(a)$
  • $\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$이 하한을 보존하므로, $\bigvee f(a)=\bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}^{a\leq \bigvee I}\bigvee I\geq a$이다.

증명 (세 번째 조건):

연속 완비 격자 $L$이 주어졌다고 하자. ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)$가 임의의 $L$의 상향 집합들의 집합이라고 하자. $\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D\geq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$ 은 자명하다. 따라서, 임의의 $a\ll \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D$에 대하여, $a\leq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$임을 보이면 족하다. 임의의 $D\in {\mathcal {D}}$에 대하여, $a\ll \bigvee D$이므로, $a\leq g(D)$인 $g(D)\in D$가 존재한다. 따라서,

$a\leq \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}g(D)\leq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$

이다.

반대로, $L$이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)$에 대하여, $\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$라고 하자. 임의의 $a\in L$에 대하여, 자명하게 $\bigvee \mathop {\Downarrow } a\leq a$이다. 따라서 $\bigvee \mathop {\Downarrow } a\geq a$임을 보이면 족하다. ${\mathcal {D}}$를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 $D\subseteq L$들의 집합으로 취하자.

• $D$는 상향 집합이다.
• $a\leq \bigvee D$

그렇다면, ${\mathcal {D}}$의 정의에 따라, 임의의 $f\in \prod {\mathcal {D}}$에 대하여,

$\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)\ll a$

이다. 따라서,

$a\leq \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge f(D)\leq \bigvee \mathop {\Downarrow } a$

이다.

연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분배 격자이다.
• 완비 헤이팅 대수이다.

증명:

모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, $L$이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소 $a\in L$ 및 부분 집합 $S\subseteq L$에 대하여,

$a\wedge \bigvee S=\bigvee _{s\in S}a\wedge s$

임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서,

${\mathcal {D}}=\left\{\{a\},\left\{\bigvee S'\colon S'\subseteq S,\;|S'|<\aleph _{0}\right\}\right\}$

을 취하자. (두 번째 집합이 상향 집합임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, $L$이 연속 완비 격자이자 분배 격자이므로, 다음이 성립한다.

$a\wedge \bigvee S=a\wedge \bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}\bigvee S'=\bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}a\wedge \bigvee S'=\bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}\bigvee _{s\in S'}a\wedge s=\bigvee _{s\in S}a\wedge s$

모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다.

연산에 대한 닫힘

유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo $(P_{i},\leq )_{i\in I}$들의 직접곱 $\textstyle \prod _{i\in I}P_{i}$ 는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 $\textstyle a,b\in \prod _{i\in I}P_{i}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 임의의 $i\in I$에 대하여 $a_{i}\ll b_{i}$이며, $\{i\in I\colon a_{i}\neq \bot \}$는 유한 집합이다.

연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.

범주론적 성질

연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.^{:56, Theorem 45}

예

모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.

폐구간

실수 폐구간 $[0,1]\subseteq \mathbb {R}$은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의 $x,y\in [0,1]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x\ll y$
• $x=0$이거나, $x<y$

따라서, 항상

$\bigvee \mathop {\Downarrow } x=\bigvee ([0,x)\cup \{0\})=x$

이며, $[0,1]$은 연속 완비 격자를 이룬다.

보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 $L$의 임의의 두 원소 $a,b\in L$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
  • $a=b=\bot$
  • $a<b$
  • $a=b>\bot$이며, $a=b$는 $L$의 어떤 도약 $(c,a)$의 두 번째 성분이다.

따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.

멱집합

임의의 집합 $X$에 대하여, 멱집합 $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 $A\ll B$는 $A$가 $B$의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$는 연속 완비 격자를 이룬다.

열린집합 격자

위상 공간 $X$의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 $\operatorname {Open} (X)$를 이룬다. 임의의 두 열린집합 $U,V\in \operatorname {Open} (X)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $U\ll V$
• 임의의 열린 $V$-덮개는 유한 부분 $U$-덮개를 갖는다.
• $U\subseteq V$이며, $U$를 원소로 갖는 $X$ 위의 임의의 극대 필터는 $V$ 속의 점으로 수렴한다.

증명:

$\operatorname {Open} (X)$가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, $U\ll V$이며, ${\mathcal {F}}$가 $X$위의 극대 필터이며, $U\in {\mathcal {F}}$라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 $x\in V$가 ${\mathcal {F}}$의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, $W_{x}\not \in {\mathcal {F}}$인 $x$의 근방 $W_{x}$가 존재한다. ${\mathcal {F}}$가 극대 필터이므로, $W_{x}\cap F_{x}=\varnothing$인 $F_{x}\in {\mathcal {F}}$가 존재한다. 그렇다면, $\{W_{x}\colon x\in V\}$는 $V$-덮개이므로, 유한 부분 $U$-덮개 $\{W_{x}\colon x\in S\}$을 갖는다. 따라서,

$\varnothing =\bigcup _{x\in S}W_{x}\cap \bigcap _{x\in S}F_{x}\in {\mathcal {F}}$

이며, 이는 모순이다.

이제, $U\subseteq V$이며, $U$를 원소로 갖는 $X$ 위의 임의의 극대 필터는 $V$ 속의 점으로 수렴한다고 하자. ${\mathcal {D}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$가 열린집합들의 상향 집합이며, $V\subseteq \bigcup {\mathcal {D}}$라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 $D\in {\mathcal {D}}$에 대하여, $U\not \subseteq D$라고 하자. 그렇다면, $\{U\setminus D\colon D\in {\mathcal {D}}\}$는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터

${\mathcal {F}}_{0}=\mathop {\uparrow } \{U\setminus D\colon D\in {\mathcal {D}}\}$

를 생각하자. ${\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}$인 $X$ 위의 극대 필터 ${\mathcal {F}}$를 취하자. $D_{0}\in {\mathcal {D}}$를 고정하자. 그렇다면, 임의의 $F\in {\mathcal {F}}$에 대하여,

$F\cap U\supseteq F\cap U\setminus D_{0}\neq \varnothing$

이다. 따라서 $U\in {\mathcal {F}}$이며, ${\mathcal {F}}$는 어떤 $x\in V$로 수렴한다. $x\in D$인 $D\in {\mathcal {D}}$를 취하자. 그렇다면, $D\in {\mathcal {F}}$이므로,

$\varnothing =D\cap U\setminus D\in {\mathcal {F}}$

이다. 이는 모순이다.

만약 $X$가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다.

• $U\subseteq C\subseteq V$인 콤팩트 집합 $C$가 존재한다.

따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 $X$의 열린집합 격자 $\operatorname {Open} (X)$는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 핵콤팩트 공간(영어: core-compact space)이라고 한다.

• $\operatorname {Open} (X)$는 연속 완비 격자이다.
• $X$의 차분화는 국소 콤팩트 공간이다.
• 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$에서, 임의의 위상 공간 $Y$에 대하여, 지수 대상 $Y^{X}$가 존재한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 콤팩트 공간 (모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ 쇼케 공간 ⇒ 베르 공간

반례

다음과 같은 부분 순서 집합 $\{\bot ,\top ,a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc ,b\}$을 생각하자.

$\bot <a_{1}<a_{2}<a_{3}<\dotsb <\top$

$\bot <b<\top$

이는 완비 격자를 이룬다.

$\{\bot ,a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc \}$

가 상향 집합이므로, $b\not \ll b$임을 알 수 있다. 따라서

$\bigvee \mathop {\Downarrow } b=\bigvee \{\bot \}=\bot \neq b$

이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.

모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 $B$의 두 원소 $a,b\in B$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• $a=\bot$

합동 관계 격자

환 $R$의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 $\operatorname {Ideal} (R)$를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 $I,J\in \operatorname {Ideal} (R)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $I\ll J$
• $I\subseteq K\subseteq J$인 유한 생성 아이디얼 $K\subseteq R$가 존재한다.

모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, $\operatorname {Ideal} (R)$는 연속 완비 격자를 이룬다.

외부 링크

• “Continuous lattice”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Core-compact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Continuous poset”. 《nLab》 (영어). 
• “Continuous category”. 《nLab》 (영어). 
• “Exponential law for spaces”. 《nLab》 (영어). 
• “Continuous poset”. 《PlanetMath》 (영어).