스콧 위상

일반위상수학 및 순서론에서 스콧 위상(영어: Scott topology)은 임의의 원순서 집합 위에 정의할 수 있는 위상의 하나이다.

정의

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 부분 집합 $U\subseteq P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합(영어: Scott-open set)이라고 한다.

• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • $U$는 상집합이다.
  • 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $\sup D\in U$라면, $D\cap U\neq \varnothing$이다. ($U$가 상집합이므로, $\sup D\in U$인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
• 스콧 닫힌집합의 여집합이다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 부분 집합 $F\subseteq P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합(영어: Scott-closed set)이라고 한다.

• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • $U$는 하집합이다.
  • 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $D\subseteq F$이며, $\sup D$가 존재한다면, $\sup D\in F$이다. ($F$가 하집합이므로, $\sup D\in F$인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
• 스콧 열린집합의 여집합이다.

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 스콧 열린집합들의 집합은 $P$ 위의 위상을 이룬다. 이를 $P$의 스콧 위상이라고 한다.

성질

스콧 위상에 대한 연속 함수

두 원순서 집합 $(P,\lesssim _{P})$, $(Q,\lesssim _{Q})$ 사이의 함수 $f\colon P\to Q$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $f$를 스콧 연속 함수(영어: Scott-continuous function)라고 한다.

• 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
• (상향 집합의 상한의 보존) 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $\sup D$가 존재한다면, $f(\sup D)=\sup f(D)$

스콧 연속 함수는 항상 증가함수이다.

함자성

스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주 ${\mathcal {C}}\subset \operatorname {Proset}$와 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 사이의 함자

$\Sigma \colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Top}$

를 정의한다.

곱과의 호환

위 함자는 연속 dcpo의 범주 $\operatorname {ContDcpo}$와 콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname {Kolm}$ 사이로 제한시켰을 때, 유한 곱을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo $(P,\leq _{P})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:197, Theorem II-4.13}

• 임의의 dcpo $(Q,\leq _{Q})$에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
  • $P$와 $Q$의 직접곱 $P\times Q$의 스콧 위상
  • $P$와 $Q$의 스콧 위상의 곱위상
• $P$의 스콧 열린집합들의 완비 헤이팅 대수는 연속 완비 헤이팅 대수이다.

외부 링크

• “Scott topology”. 《nLab》 (영어).