하르 측도

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해석학에서, 하르 측도(Haar測度, 영어: Haar measure)는 특수한 위상군 위에 정의할 수 있는, 군의 구조를 따르는 측도다.[1]

정의[편집]

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이라고 하자. 이 군에 콤팩트 집합들로 생성되는 시그마 대수 를 부여하여 가측 공간 로 만들 수 있다.

하르 정리(영어: Haar's theorem)에 따르면, 가측 공간 위에 다음을 만족하는 측도 가 존재한다.

  • (비자명성) 가측 집합 가 존재한다.
  • (왼쪽 곱셈과의 호환) 가 가측 집합이고, 이면 이다.
  • (콤팩트 공간의 유한성) 콤팩트 집합이라면 이다.
  • (외부 규칙성) 가 가측 집합이면 를 부분집합으로 가지는 가측 열린집합들의 측도의 하한의 측도와 같다.
  • (내부 규칙성) 가 가측 열린집합이라면 콤팩트 부분집합들의 측도의 상한의 측도와 같다.

이 조건들을 모두 만족하는 측도를 왼쪽 하르 측도(영어: left Haar measure)라고 한다. 마찬가지로, 오른쪽 곱셈과 호환되는 측도를 오른쪽 하르 측도(영어: right Haar measure)라고 한다.

또한, 가 각각 하르 측도라면 인 실수 가 존재한다. 즉, 하르 측도는 곱셈 상수를 제외하고는 유일하다.

(내부 규칙성은 일반적 가측 집합에 대하여 성립하지 않지만 외부 규칙성은 임의의 가측 집합에 대하여 성립한다.)

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이산군의 경우, 하르 측도는 셈측도이다.

유클리드 공간[편집]

유클리드 공간은 덧셈에 대하여 아벨 리 군을 이룬다. 이 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도는 일치하며, 모두 르베그 측도의 상수배이다.

곱셈군[편집]

0이 아닌 실수의 곱셈군 은 1차원 아벨 리 군이며, 그 하르 측도는 다음과 같다.

리 군[편집]

(유한 차원) 리 군의 경우, 왼쪽 (또는 오른쪽) 하르 측도는 왼쪽 (또는 오른쪽) 평행 이동 불변 최고차 미분 형식으로 정의된다.

일반 선형군 의 왼쪽 하르 측도는 다음과 같다.

여기서

이다.

역사[편집]

하르 얼프레드(헝가리어: Haar Alfréd)가 1933년 도입하였다.[2] 하르는 제2 가산 공간의 경우에 하르 측도의 존재를 증명하였다. 앙드레 베유가 1940년 일반적인 하우스도르프 공간의 경우에 대하여 선택 공리를 사용하여 증명하였고,[3] 앙리 카르탕은 같은 정리를 선택 공리를 사용하지 않고 증명하였다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. Nachbin, Leopoldo (1965). 《The Haar integral》. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 
  2. Haar, A. (1933년 1월). “Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen”. 《Annals of Mathematics》. 2 (독일어) 34 (1): 147–169. JSTOR 1968346. doi:10.2307/1968346. 
  3. Weil, André (1940). 《L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications》. Actualités Scientifiques et Industrielles (프랑스어) 869. Paris: Hermann. 
  4. Cartan, Henri (1940). “Sur la mesure de Haar”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris》 (프랑스어) 211: 759–762. 

외부 링크[편집]