갈루아 군

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수학에서 갈루아 군(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

정의[편집]

E/F가 체의 확대라 하자. 이때 E 상의 F를 고정하는 모든 자기동형사상(즉, 체의 동형사상 α: E → E로서, 임의의 F의 원소 x에 대해 α(x) = x인 경우)들의 집합을 Aut(E/F)로 쓴다. 이 집합은 함수의 합성에 대해 군을 이룬다. 특히 E/F가 갈루아 확대인 경우 이 군을 이 확대의 갈루아 군이라 하며, 많은 경우 기호 Gal(E/F)로 나타낸다.

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아래에서 F는 어떤 체를 표시하고, C, R, Q 은 각각 복소수, 실수, 유리수를 뜻한다.

  • Gal(F/F) 은 항등 자기동형사상만을 그 원소로 갖는다.
  • Gal(C/R) 는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 자기동형사상과, 복소 공액 자기동형사상이다.
  • Gal(C/Q) 는 무한군이다.
  • Gal(Q(√2)/Q) 은 두 개의 원소를 갖는다. 항등 자기동형사상과 √2 과 −√2 를 바꾸는 자기동형사상이다.