갈루아 군

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서 갈루아 군(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

정의[편집]

체의 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 L자기 동형 f\colon L\to L 가운데 f(k)=k\forall k\in K인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 L/K자기 동형군 \operatorname{Aut}(L/K)라고 한다.

만약 L/K갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)이라고 한다.

K분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep}}의 자기 동형군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)절대 갈루아 군(영어: absolute Galois group) \operatorname{Gal}K이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 \operatorname{Spec}K에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

\operatorname{Gal}K\cong\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(\operatorname{Spec}K)

K^{\operatorname{sep}}/K는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

갈루아 군의 위상[편집]

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 L/K에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 \operatorname{Sub}(L/K) 및 갈루아 부분 확대들의 격자

\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\subset\operatorname{Sub}(L/K)

를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)은 다음와 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

\operatorname{Gal}(L/K)=\varprojlim_{M\in\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)}^{[M:K]<\aleph_0}\operatorname{Gal}(M/K)

이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상(영어: Krull topology)이라고 한다.

성질[편집]

갈루아 이론의 기본 정리(영어: fundamental theorem of Galois theory)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

체론 군론
K^{\operatorname{sep}}/K의 부분 확대 L/K 절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K
K^{\operatorname{sep}}/K유한 부분 확대 L/K 절대 갈루아 군의 열리고 닫힌 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K
유한 확대 L/K에서, K를 고정시키는 매장 L\hookrightarrow K^{\operatorname{sep}} \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K의 (왼쪽) 잉여류
갈루아 확대 L/K 절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\vartriangleleft\operatorname{Gal}K
K^{\operatorname{sep}}/K의 부분 확대 L/K의 켤레 확대(영어: conjugate extension) \sigma(L)/K \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)의 켤레 부분군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/\sigma(L))=\sigma\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\sigma^{-1}

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

[편집]

  • 임의의 체 K에 대하여, \operatorname{Gal}(K/K)자명군이다.
  • \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q)은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수a+b\sqrt2\mapsto a-b\sqrt2이다.

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

절대 갈루아 군의 예[편집]

아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 \mathbb Z/2밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.

바깥 고리[편집]