갈루아 군

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수학에서 갈루아 군(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

정의[편집]

체의 확대 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 자기 동형 가운데 인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 자기 동형군 라고 한다.

만약 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군 이라고 한다.

분해 가능 폐포 의 자기 동형군 절대 갈루아 군(영어: absolute Galois group) 이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

갈루아 군의 위상[편집]

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 및 갈루아 부분 확대들의 격자

를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 은 다음와 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상(영어: Krull topology)이라고 한다.

성질[편집]

갈루아 이론의 기본 정리(영어: fundamental theorem of Galois theory)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

체론 군론
의 부분 확대 절대 갈루아 군의 닫힌 부분군
유한 부분 확대 절대 갈루아 군의 열리고 닫힌 부분군
유한 확대 에서, 를 고정시키는 매장 의 (왼쪽) 잉여류
갈루아 확대 절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군
의 부분 확대 의 켤레 확대(영어: conjugate extension) 의 켤레 부분군

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

갈루아 코호몰로지[편집]

갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 의 스펙트럼 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대 가 주어졌을 때, 자기 동형군 는 정의에 따라 위에 자연스럽게 작용하며, 군환 위의 가군을 이룬다.

가법 힐베르트 90번 정리(加法Hilbert九十番定理, 영어: additive Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 갈루아 확대 에 대하여, 계수의 고차 군 코호몰로지자명군이다.

(이는 정규 기저 정리(영어: normal basis theorem)로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대 가 주어졌을 때, 자기 동형군 가역원군 위에 자연스럽게 작용하며, 군환 위의 가군을 이룬다.

승법 힐베르트 90번 정리(乘法Hilbert九十番定理, 영어: multiplicative Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 확대 자기 동형군 유한군이라면, 계수의 1차 군 코호몰로지자명군이다.

(이 경우 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

[편집]

  • 임의의 체 에 대하여, 자명군이다.
  • 은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수이다.

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

절대 갈루아 군의 예[편집]

  • 대수적으로 닫힌 체 의 절대 갈루아 군 자명군이다.
  • 실수체의 절대 갈루아 군 는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포대수적 폐포와 같다.)
  • 유리수체의 절대 갈루아 군 는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(영어: Belyi’s theorem)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.

아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.

바깥 고리[편집]