순환군

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군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소가 생성하는 이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 고정된 하나의 원소의 거듭제곱(가법군의 경우 정수 배)이다.

정의[편집]

군의 원소 가 생성하는 순환군 은 다음과 같다.

순환군을 생성하는 원소를 생성 원소(生成元素, 영어: generating element) 또는 생성원(生成元, 영어: generator)이라고 한다. 유한 개의 원소의 순환군을 유한 순환군, 무한 개의 원소의 순환군을 무한 순환군이라고 한다.

군의 원소 위수(位數, 영어: order)는 가 생성하는 순환 부분군의 크기이다. 항등원이 되는 가장 작은 거듭제곱 지수와 같다. 즉,

분류[편집]

순환군은 정수 군 또는 그 잉여류 군과 동형이다. 무한 순환군은 정수 군과 동형이며, 유한 순환군은 정수 잉여류 군과 동형이다.

성질[편집]

순환군은 항상 아벨 군이다.

원소 개수가 소수인 군은 유일하게 순환군이자 단순군이다.

순환군 의 부분군은 항상 순환군이다. 순환군의 부분군의 집합은 정확히 다음과 같다.

이에 따라, 무한 순환군의 부분군은 자연수와 일대일 대응하며, 유한 순환군의 부분군은 위수의 약수와 일대일 대응한다.

순환군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 이 존재한다.

바깥 고리[편집]