순환군

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군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의해 생성될 수 있는 이다. 그 의미는 군이 한 원소 를 가지고 있고, 그 군의 모든 원소가 거듭제곱의 하나라는 것이다. 마찬가지로, 군 의 한 원소 를 생성하는 것은 를 포함하는 의 유일한 부분군(subgroup)이 자신일 때이다.

순환군을 생성하는 원소 생성원(generator)이라고 부르며, 항등원이 되는 가장 작은 자연수 을 그 순환군의 위수라고 정의한다.

분류[원본 편집]

임의의 순환군은 다음의 두가지 종류의 순환군 중 하나와 반드시 동형이다.

  • . 이를 무한 순환군(無限循環群, 영어: infinite cyclic group)이라고 한다.
  • : 정수들의 집합을 으로 나눈 나머지들의 집합.

는 원소의 개수가 무한하다. 위수는 자연수 범위에서 정의되지 않으며 이를 로 표기하기도 한다.

유한군으로, 위수(order)는 으로 원소의 개수와 동일하다.

의 경우, 교과서에 따라서는 혹은 라고 표기하기도 한다. 그러나 의 경우, n-adic 수와 혼란을 줄 가능성이 있어서 어떤 수학자들은 이 표기에 대해서 동의하지 않기도 한다.

성질[원본 편집]

원소의 개수가 소수인 순환군은 단순군이다.

바깥 고리[원본 편집]