쉴로브 정리

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군론에서, 쉴로브 정리(영어: Sylow theorems) 또는 실로우 정리유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시의 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.

정의[편집]

소수 가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수의 거듭제곱인 이다. 쉴로브 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 극대 p-부분군이다. 즉, 군 p-부분군 가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 p-부분군이라고 한다.

  • 임의의 p-부분군 에 대하여, 만약 라면, 이다.

쉴로브 p-부분군의 집합을 로 표기하자.

유한군 와 소수 가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 와 양의 정수 에 대하여

이며 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.

  • 제1 쉴로브 정리(영어: first Sylow theorem): 크기가 의 부분군이 존재한다.
  • 제2 쉴로브 정리(영어: second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 p-부분군 p-부분군 에 대하여, 가 존재한다. 특히, 의 모든 쉴로브 p-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 p-부분군의 크기는 이다.
  • 제3 쉴로브 정리(영어: third Sylow theorem): 크기가 의 부분군의 총수가 이며 (특히 ), 의 임의의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
    • . (여기서 정규화 부분군이다.)

(다음은 인 경우에 대한 증명이며, 일부 증명은 임의의 에 대한 경우에도 적용 가능하다.)

제1 정리의 증명[편집]

켤레 작용을 통한 증명 (제1 정리)[편집]

크기가 의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 한원소 집합이 아닌 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.

이 경우 각 에 대하여 의 진부분군이다.

만약 의 약수가 되는 가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 인 부분군 를 가지며, 이는 자명하게 의 부분군이다.

이제, 임의의 에 대하여, 의 약수가 아니라고 하자. 인 경우는 자명하다. 만약 이라면, 의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 인 부분군 를 가지며, 이는 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 는 크기가 인 쉴로브 p-부분군 를 가지며, 이 경우 는 크기가 의 부분군이다.

빌런트의 증명 (제1 정리)[편집]

헬무트 빌런트(독일어: Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.

이 위에 는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.

이 작용의 궤도들의 대표원을 라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.

또한

와 서로소이므로 (이는 각 에 대하여 의 소인수 의 중복도가 의 소인수 의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 와 서로소인 가 존재한다. 안정자군라고 하자. 그렇다면, 의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 을 약수로 갖는다. 또한 에 대하여,

단사 함수이므로, 이다.

정규화 부분군을 통한 증명[편집]

임의의 쉴로브 p-부분군(즉, 극대 p-부분군) 에 대하여 임을 보이는 것으로 족하다. 정규화 부분군 를 생각하자. 그렇다면 의 정규 부분군이므로, 몫군 를 취할 수 있다.

우선, 의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 인 부분군 가 존재한다. 이 경우 부분군 의 부분군이며, 를 만족시킨다. 이는 가 쉴로브 p-부분군인 데 모순이다.

이제, 의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 위에서 가 다음과 같이 작용한다고 하자.

그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.

따라서, 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 가 임의의 에 대하여

를 만족시킨다면, 이며, p-군이므로 의 위수는 의 거듭제곱이다. 따라서 의 (에서의) 위수 역시 의 거듭제곱이며, 또한 이는 의 약수이므로, 의 위수는 1이다. 즉, 이며, 이다. 즉, 가 성립한다.

이 두 가지 사실을 종합하면 을 얻는다. 이는

때문이다.

제2 정리의 증명[편집]

왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명[편집]

크기가 인 쉴로브 p-부분군 를 취하자. 임의의 p-부분군 에 대하여, 의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 위에서 가 다음과 같이 작용한다고 하자.

또한, 의 크기는 와 서로소이므로, 궤도의 크기가 와 서로소인 원소 를 가지며, 이에 대한 안정자군은 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.

이중 잉여류를 통한 증명[편집]

크기가 인 쉴로브 p-부분군 를 취하자. 임의의 p-부분군 에 대하여, 의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합

분할을 이루므로, 다음이 성립한다.

즉,

이다. 또한 와 서로소이므로, 와 서로소가 되는 가 존재한다. 즉, 이 에 대하여

이다. 따라서,

이 성립한다.

제3 정리의 증명[편집]

켤레 작용을 통한 증명 (제3 정리)[편집]

쉴로브 p-부분군의 집합을 라고 하고, 이 위의 켤레 작용

를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 이다. 따라서

이며, 이는

의 약수이다.

이제, 임의의 에 제한된 켤레 작용

를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식

가 성립한다. 이제 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 가 임의의 에 대하여 를 만족시킨다면, 이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 가 존재한다.

따라서, 합동식

가 성립한다.

빌런트의 증명 (제3 정리)[편집]

제1 쉴로브 정리에 대한 빌런트의 증명에서 계속하여, 집합

을 생각하자. 그렇다면, 는 정확히 다음과 같은 집합이다.

여기서 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 p-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,

이다.

임의의 의 안정자군 p-부분군이다. 이는 임의의 에 대하여, 이므로, 의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, 의 원소들의 안정자군은 p-부분군이다. 또한, 의 작용에 대하여 닫혀있으므로, 속 궤도들의 대표원 를 취할 수 있으며, 이 경우

가 성립한다.

또한,

가 성립한다. 이는 임의의 에 대하여, 의 소인수 의 중복도가 라고 할 때,

이기 때문이다.

이들 결론을 종합하면

을 얻으며, 이므로

가 성립한다.

쉴로브 부분군의 성질[편집]

유한군 와 소수 가 주어졌다고 하자.

연산에 대한 닫힘[편집]

만약 의 쉴로브 p-부분군이며, 의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

  • 의 쉴로브 p-부분군이다.
  • 의 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 가 존재한다. 따라서

이며,

이다. p-부분군이므로,

이며, 의 쉴로브 p-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와

으로부터 유도된다.

충분 조건[편집]

만약 p-부분군이며, 라면, 의 쉴로브 p-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

증명:

의 켤레 부분군의 집합

위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.

그렇다면, 각 궤도의 크기는 의 약수이며, 특히 의 거듭제곱이다.

이제, 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 가 임의의 에 대하여 를 만족시킨다면, 를 취하면

이므로, 이다.

따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여

이며, 특히 의 쉴로브 p-부분군이다.

교집합[편집]

만약 의 모든 쉴로브 p-부분군의 교집합이라고 하면, 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 만약 의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, 이며, 의 유일한 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

우선, 의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 p-부분군 에 대하여,

정규핵이기 때문이다.

이제, 의 모든 정규 p-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 p-부분군 및 쉴로브 p-부분군 에 대하여, 임을 보이면 된다. 의 부분군이며,

이므로 이는 p-부분군이다. 따라서 이며, 특히 이다.

이에 따라 의 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 극대 정규 p-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 에 대하여, 역시 의 극대 정규 p-부분군이며, 따라서 이다. 즉, 의 특성 부분군이다.

만약 의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, 이므로,

이며, 따라서 이다.

다음과 같은 조건을 생각하자.

  • 인 두 쉴로브 p-부분군 가 존재한다.

이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.[1]

  • 홀수 비(非)메르센 소수이다.
  • 는 홀수이다.
  • 이며, 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.

프라티니 논증[편집]

만약 의 정규 부분군이며, 의 쉴로브 p-부분군이라면, 이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 의 쉴로브 p-부분군, 의 부분군이며, 라면, 이다. 특히, 가 성립한다.

응용[편집]

실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. 소수이며, 라고 하자.

  • 일 경우, 크기가 인 군은 순환군동형이다.
  • 일 경우, 크기가 이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
  • 크기가 ()인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.

역사[편집]

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Mann, Avionam (1975년 12월). “The Intersection of Sylow Subgroups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 262-264. ISSN 0002-9939. JSTOR 2039991. 

외부 링크[편집]