베주 항등식

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수론에서, 베주 항등식(영어: Bézout’s identity)은 두 정수의 최대공약수를 원래 두 수의 배수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리다.

정의[편집]

주 아이디얼 정역 속의 원소 가 주어졌고, 최대공약수의 하나라고 하자.

그렇다면, 다음 등식을 성립하게 하는 원소 가 존재한다.

증명[편집]

주 아이디얼 정역이라고 하고, 라고 하며 가 그 최대공약수의 하나라고 하자. 최대공약수의 정의에 따라

이다. 반면, 가 주 아이디얼 정역이므로 아이디얼 주 아이디얼이다. 크룰 높이 정리에 따라, 주 아이디얼 의 높이는 1이다. 즉, 의 진부분 아이디얼은 영 아이디얼 밖에 없다. 따라서

이며,

가 존재한다.

역사[편집]

에티엔 베주가 증명하였다.

외부 링크[편집]