절대 갈루아 군

실수의 절대 갈루아 군은 $\mathbb {C}$가 $\mathbb {R}$과 $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$인 분리 가능한 폐포이기 때문에 두 원소(복소 켤레 및 항등 사상)의 순환 군이다.

수학에서, 체 $\mathbb {K}$의 절대 갈루아군 $G_{\mathbb {K} }$는 $\mathbb {K}$ 위의 $\mathbb {K} ^{\mathrm {sep} }$의 갈루아군이다. 여기서 $\mathbb {K} ^{\mathrm {sep} }$는 $\mathbb {K}$의 분리 가능한 폐포이다. 또는 $\mathbb {K}$를 고정하는 $\mathbb {K}$의 대수적 폐포의 모든 자기동형의 군이다. 절대 갈루아 군은 내부 자기동형사상을 기준으로 잘 정의되어 있다. 또한 사유한군이다.

($\mathbb {K}$가 완전체일 때 $\mathbb {K} ^{\mathrm {sep} }$는 $\mathbb {K}$의 대수적 폐포 K ^alg 와 동일하다. 이것은 예를 들어 표수 0인 $\mathbb {K}$ 또는 유한 체 $\mathbb {K}$에 대해 유지된다)

예

• 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명하다.
• 실수의 절대 갈루아 군은 $\mathbb {C}$가 $\mathbb {R}$과 $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$인 분리 가능한 폐포이기 때문에 두 원소(복소 켤레 및 항등 사상)의 순환 군이다.
• 유한 체 $\mathbb {K}$의 절대 갈루아 군은 군

${\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

과 동형이다.(표기법은 역극한을 참조)

프로베니우스 자기동형사상 $\mathrm {Fr}$은 $G_{\mathbb {K} }$의 표준(위상) 생성자이다. ($\forall x\in \mathbb {K} ^{\mathrm {alg} },\mathrm {Fr} (x)=x^{q}$임을 기억하라. 여기서 q는 $\mathbb {K}$의 원소들의 수이다)

• 복소수 계수를 갖는 유리 함수 체의 절대 갈루아 군은 자유군(사유한군으로서)이다. 이 결과는 아드리앙 두아디에 기인하며 리만의 존재 정리에 기원을 두고 있다.
• 보다 일반적으로, $\mathbb {K} '$를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 x를 변수라고 하자. 그러면 $\mathbb {K} :=\mathbb {K} '(x)$의 절대 갈루아 군은 $\mathbb {K} '$의 기수와 동일한 랭크를 가진 자유군이다. 이 결과는 David Harbater와 Florian Pop에 의한 것이며 Dan Haran과 Moshe Jarden에 의해 나중에 대수적 방법으로 증명되었다.
• $\mathbb {K}$를 p진수 $\mathbb {Q} _{p}$의 유한 확대라 하자. $p\neq 2$에 대해, 절대 갈루아 군은 $[\mathbb {K} :\mathbb {Q} _{p}]+3$개의 원소들에 의해 생성된다. 그리고 관계와 생성자에 대한 의한 명시적 묘사가 있다. 이것은 Uwe Jannsen과 Kay Wingberg의 결과이다. $p=2$인 경우 일부 결과가 알려져 있지만 $\mathbb {Q} _{2}$에 대한 구조는 알려져 있지 않다.
• 절대 갈루아 군이 결정된 또 다른 경우는 대수 체의 가장 큰 총 실수 부분 체에 대한 것이다.

난제들

• 유리수의 절대 갈루아 군에 대한 직접적인 설명은 알려져 있지 않다. 이 경우, 절대 갈루아 군이 대수적 수체의 갈루아 이론을 "볼" 수 있게 하는 그로텐디크의 데셍당팡 (곡면의 지도)에 대한 충실한 작용를 갖는다는 것은 Belyi의 정리에서 따른다.
• $\mathbb {K}$를 유리수의 최대 아벨 확대라고 한다. 그런 다음 샤파레비치의 추측은 $\mathbb {K}$의 절대 갈루아 군이 자유 사유한군이라고 주장한다.

몇 가지 일반적인 결과

• 모든 사유한군은 일부 갈루아 확대의 갈루아 군으로 발생하지만 모든 사유한군이 절대 갈루아 군으로 발생하는 것은 아니다. 예를 들어, Artin–Schreier 정리는 유일한 유한 절대 갈루아 군이 자명하거나 차수가 2, 즉 두 개의 동치류라는 것을 주장한다.
• 모든 사영 사유한군은 유사 대수적 완비 체의 절대 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 이 결과는 Alexander Lubotzky와 Lou van den Dries가 증명했다.

참고 문헌

• Douady, Adrien (1964), “Détermination d'un groupe de Galois”, 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris》 258: 5305–5308, MR 0162796 
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), 《Field arithmetic》, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge 11 3판, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001 
• Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), “The absolute Galois group of C(x)”, 《Pacific Journal of Mathematics》 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445, MR 1800587 
• Harbater, David (1995), 〈Fundamental groups and embedding problems in characteristic p〉, 《Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993)》, Contemporary Mathematics 186, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 353–369쪽, MR 1352282 
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), “Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\mathfrak {p}}$-adischer Zahlkörper” (PDF), 《Inventiones Mathematicae》 70: 71–78, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199, S2CID 119378923 
• 틀:Neukirch et al. CNF
• Pop, Florian (1995), “Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture”, 《Inventiones Mathematicae》 120 (3): 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, doi:10.1007/bf01241142, MR 1334484, S2CID 128157587