갈루아 이론

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추상대수학에서, 갈루아 이론(Galois理論, 영어: Galois theory)은 을 이어주는 이론이다. 수학자 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)가 초석을 놓아 그의 이름을 땄다. 갈루아 이론을 이용하면 체 이론의 특정한 수학 문제를 군론의 문제로 간단히 바뀌어 더 쉽게 이해되는 경우가 있다.

처음에 갈루아는 순열군을 이용해서 주어진 방정식의 다양한 해들이 서로 어떻게 대응되는가를 기술하려고 한다. 현대의 갈루아 이론은 리하르트 데데킨트, 레오폴트 크로네커, 에밀 아르틴 등에 의해 발전되어, 체의 확장의 자기동형사상의 연구와 관련이 있다.

갈루아 이론의 다른 추상화에는 갈루아 접속(Galois connection)이 있다.

갈루아 이론에 대한 치환군 접근법[편집]

예제 - 이차 방정식[편집]

다음의 이차 방정식을 생각해보자.

x^2 - 4x + 1 = 0.\

근의 공식을 이용하면 다음과 같은 두 개의 근을 얻게된다.

A = 2 + \sqrt{3}
B = 2 - \sqrt{3}

AB가 만족하는 대수식의 예를 들면

    A + B = 4\

    AB = 1\

등이 있다.

당연히, 위의 두 관계식 중 AB를 바꾼다고 해도, 같은 관계식을 만족한다. 예를 들면 A + B = 4 는 B + A = 4가 된다. 또한 자명하지는 않아도 모든 가능한, 유리수의 계수를 갖는 AB가 만족시키는 대수식에서도 마찬가지이다. 이를 증명하기 위해서는 사실 대칭 다항식의 이론이 필요하다.

따라서 우리는 다항식 x2 − 4x + 1이 이루는 갈루아 그룹이 두개의 순열로 이루어졌다는 것을 안다. AB를 그대로 남기는 (항등)순열과 AB를 바꾸는 전치순열이다. 이는 2차의 순환군이며 따라서 Z/2Z군과 동형사상이다.

한편 다음과 같은 반론을 예상할 수 있다: AB는 다음과 같은 관계식에 의해 관계되었다고 볼 수 있고,

A - B - 2\sqrt{3} = 0

이는 AB를 바꾸면 더이상 참이 아니라고 볼 수 있다. 하지만 이 관계식은 유리수 계수의 식이 아니기 때문에, 즉 -2\sqrt{3}무리수이기 때문에 이 문제와 관련이 없다.

유사한 방법은 a, b, c가 유리수인 모든 이차다항식 ax2 + bx + c에 적용될 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]