각의 3등분

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수학에서, 각의 3등분이란 주어진 을 같은 크기의 세 각으로 나누는 일이다. 임의의 주어진 각을 3등분할 수 있는지 여부는 3대 작도 불가능문제 가운데 하나이다.

각의 삼등분 문제는 임의의 각을 삼등분하는 문제로, 임의의 크기의 각을 작도하는 사람이 자신이 의도한 크기의 각을 정확히 작도할 수 없기 때문에 일반적으로 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 작도할 수 없다. 종이를 접거나 특수한 도구를 사용하여 주어진 각을 삼등분하는 각을 만들 수는 있지만, 이것은 눈금없는 자와 컴퍼스를 이용한다는 문제의 조건에 어긋난다.

이 문제는 프랑스의 수학자 피에르 방첼(Pierre Wantzel)이 1837년에 60도를 삼등분하는 작도가 불가능함을 보임으로써 끝이 났다. 이것은 주어진 어떤 각도 삼등분할 수 없다는 뜻이 아니다. 직각을 비롯한 무한히 많은 각을 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 있지만, 한편 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 없는 각 또한 무수히 많다는 뜻이다.

임의의 각은 삼등분이 불가능하며, 특정 각의 경우에도 상술했듯 삼등분이 가능한 각과 불가능한 각이 있다. 삼등분이 가능한 각은 다음과 같다.

  • 직각은 삼등분 작도를 할 수 있다.
  • 삼등분 작도를 할 수 있는 각의 2배각과 절반각도 삼등분 작도가 가능하다.
    • 역으로, 삼등분 작도를 할 수 없는 각의 2배각과 절반각도 삼등분 작도를 할 수 없다.
  • 삼등분 작도를 할 수 있는 각의 3배각도 삼등분 작도를 할 수 있으나, 1/3 크기의 각은 삼등분 작도를 할 수 없을 경우도 있다. (예: 직각 → 30도)
    • 역으로, 삼등분 작도를 할 수 없는 각의 1/3 크기의 각은 삼등분 작도를 할 수 없으나, 3배각은 삼등분 작도를 할 수 있을 경우도 있다.

이 조건에 의하면 삼등분 작도가 가능한 각은 직각을 포함하여 45도, 22.5도, 11.25도, 135도, 67.5도, 33.75도 등이 있다.

작도 불가능성[편집]

피에르 방첼이 처음 증명했다.

3등분을 하는 다른 방법[편집]

작도의 조건을 만족하지 않는 방법으로는 각의 3등분을 할 수 있다.

종이접기[편집]

종이접기를 통해 각의 삼등분을 할 수 있습니다.

보조 곡선을 이용하는 법[편집]

달팽이꼴을 이용하여 3등분을 할 수 있다.

눈금있는 자를 이용하는 방법[편집]

작도와 달리 눈금있는 자를 이용하면 삼등분이 가능하다. 이를 뉴시스 작도라고 한다. 각의 3등분을 해주는 도구로는 작도할 수 없는 정십일각형의 작도가 가능한 등 3등분기보다 강력한 도구이다.

토마호크 이용[편집]

토마호크는 각의 삼등분을 해주는 도구의 하나이다.

함께보기[편집]

외부 링크[편집]