분해체

대수적 수론에서, 주어진 다항식의 분해체(分解體, 영어: splitting field)는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.

정의

$K$가 체라고 하고, $p(x)\in K[x]$가 하나의 변수에 대한 $n$차 다항식이라고 하자. 그렇다면 $p$의 $K$에 대한 분해체 $L/K$는 다음을 만족시키는 $K$의 확대이다.

1. 다항식 $p$가 $p(x)=\prod _{i=1}^{\deg p}(x-a_{i})\in L[x]$로 완전 인수 분해된다.
2. $L$은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.

이 성질은 만족시키는 체의 확대는 (동형인 것을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

구성

체 $K$ 및 기약 다항식 $p\in K[x]$에 대하여, 다음과 같은 체의 확대 $L/K$가 존재한다.

$L\cong K[x]/(p(x))$

여기서 $(p(x))$는 $p(x)$에 의해 생성되는 $K[x]$의 소 아이디얼이다. $K[x]$는 주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환은 체를 이루므로, $L$이 체임을 알 수 있다. 또한, $a=x+(p(x))\in L$은 $p$의 근이므로, $p$는 $L$에서 하나 이상의 근을 가지며, $\{1,a,a^{2},\dotsc ,a^{\deg p-1}\}\subseteq L$은 $L$의 $K$-기저를 이룬다. 그러나 $L/K$는 $p$의 분해체가 아닐 수 있다.

이제, 체 $K$에 대한, $n$차 다항식 $p\in K[x]$의 분해체 $L$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $K_{0}=K$
• $p(x)/((x-a_{1})\dotsm (x-a_{i}))\in K_{i}[x]$의 기약 인자 $f_{i}(x)\in K_{i}[x]$를 고른다.
• $K_{i+1}=K_{i}[x]/(f_{i}(x))$
• $a_{i+1}=x+(f_{i}(x))\in K_{i+1}$
• $L=K_{n}$

이는 $f_{i}$의 선택에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.

예

복소수체 $\mathbb {C}$는 실수체 $\mathbb {R}$에 대하여 기약 다항식 $x^{2}+1$의 분해체다. 즉,

$\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$

이다.

유리수체 $\mathbb {Q}$에 대하여 기약 다항식 $x^{3}-2$의 분해체는

$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\exp(2\pi i/3))$

이다.

같이 보기

• 최소 다항식
• 정규 확대
• 갈루아 확대

외부 링크

• “Splitting field of a polynomial” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Splitting field” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.