대수적 수론에서, 주어진 다항식의 분해체(分解體, 영어: splitting field)는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.
가 체라고 하고,
가 하나의 변수에 대한
차 다항식이라고 하자. 그렇다면
의
에 대한 분해체
는 다음을 만족시키는
의 확대이다.
- 다항식
가
로 완전 인수 분해된다.
은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.
이 성질은 만족시키는 체의 확대는 (동형인 것을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.
분해체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
에 대한, 기약 다항식
의 분해체
은 다음과 같다.
![L\cong K[x]/(p(x))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8637cc884c3f1e675236dff644da0726125925a1)
여기서
는
에 의해 생성되는
의 소 아이디얼이다.
는 주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환은 체를 이루므로,
이 체임을 알 수 있다.
기약이지 않은 다항식
의 경우, 기약다항식들의 곱

으로 인수 분해하여, 분해체
을

![K_{i+1}=K_i[x]/(f_i(x))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20f7007852945e8e4bb7be4a016c2faa5193b64)

로 나타낼 수 있다. 이는
의 순서에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.
복소수체
는 실수체
에 대하여 기약 다항식
의 분해체다. 즉,
![\mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914cb149ff573c5b347b9081b353d1adb30bdd14)
이다.
유리수체
에 대하여 기약 다항식
의 분해체는
![\mathbb Q(\sqrt[3]2,\exp(2\pi i/3))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e72ff3192d448703429ed6984bc278039ea286a)
이다.
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