대칭군 (군론)

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수학에서, 대칭군(對稱群, 영어: symmetric group)은 주어진 원소들을 재배열하는 방법(순열)들로 구성된 이다.

정의[편집]

집합 대칭군에서 로 가는 모든 전단사 함수의 집합에 구조를 준 것으로, 기호로는 또는 로 표기한다. 이 때, 군 연산은 함수의 합성이다. 즉, 두 함수 를 합성하여 새로운 전단사 함수 를 얻을 수 있다. 이 때, 의 모든 원소 x에 대해 로 정의한다. 이 연산과 함께 는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 의 경우이다. 이 집합의 대칭군 를 간단히 으로 표기한다. 의 원소들을 순열이라 한다.

n개 원소에 대한 대칭군의 표시는 다음과 같다.

여기서 순열 에 대응한다.

성질[편집]

n개 원소에 대한 대칭군 은 크기가 유한군이다. 무한 대칭군의 경우, 크기인 집합 위의 대칭군의 크기는

이다.

대칭군은 오직 인 경우에만 아벨 군이며, 오직 일 경우에만 가해군이다. 이것이 아벨-루피니 정리(5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다.

대칭군의 두 순열 이 같은 켤레류에 속할 필요충분조건은 두 순열의 순환(영어: cycle) 구조가 같다는 것이다. 즉, 두 순열이 같은 수의 순환들로 구성되고, 각 순환들의 길이가 같을 때 서로 같은 켤레류에 속한다.

호몰로지[편집]

대칭군의 낮은 차수의 군 호몰로지는 다음과 같다. 군의 정수 계수 1차 호몰로지는 그 아벨화와 같으며, 대칭군의 아벨화는 다음과 같다.

군의 정수 계수 2차 호몰로지는 그 슈어 승수(영어: Schur multiplier)의 군과 같으며, 대칭군의 경우 이는 다음과 같다.

자기 동형[편집]

대칭군의 자기 동형군중심은 다음과 같다.

n
1 1
1 1
1

응용[편집]

대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. 갈루아 이론에서, n차 대칭군은 일반적 n차 다항식의 갈루아 군이다. 리 군의 이론에서, n차 대칭군은 일반선형군 특수선형군 바일 군이며, 슈어 함자(영어: Schur functor)에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 콕서터 군 과 같다.

낮은 차수의 대칭군[편집]

낮은 차수의 대칭군은 다음과 같다.

대칭군 다른 이름
Sym(0) 1 (자명군)
Sym(1) 1 (자명군)
Sym(2) (2차 순환군)
Sym(3) Dih(6) (정이면체군), (2차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)
Sym(4) (3차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)

바깥 고리[편집]