갈루아 확대

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갈루아 이론에서, 갈루아 확대(Galois擴大, 영어: Galois extension)는 갈루아 군이 잘 정의될 수 있는 체의 확대이다.

정의[편집]

갈루아 확대는 다음 세 조건을 만족시키는 체의 확대이다.

성질[편집]

유한 확대 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 에밀 아르틴이 증명하였다.

  • 는 갈루아 확대이다.
  • 정규 분해 가능 확대이다.
  • 은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식 분해체이다.
  • 이다. 즉, 체의 확대의 차수 는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.

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유리수체 의 확대들을 생각하자.

  • 는 갈루아 확대이다.
  • 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
  • 대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율 초월수이기 때문이다.

(유리수체는 완전체이므로, 유리수의 모든 대수적 확대분해 가능 확대이다.)

참고 문헌[편집]

  • Bewersdorff, Jörg (2006). 《Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. 
  • Lang, Serge (1994). 《Algebraic Number Theory》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4. 
  • Rotman, Joseph (1998). 《Galois Theory》 (영어) 2판. Springer. ISBN 0-387-98541-7. 
  • Völklein, Helmut (1996). 《Groups as Galois groups: an introduction》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5. 
  • Funkhouser, H. Gray (1930). “A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273. 

바깥 고리[편집]