완전체

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추상대수학에서, 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 이다.

정의[편집]

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 완전체라고 하며, 완전체가 아닌 체를 불완전체(영어: imperfect field)라고 한다.

보다 일반적으로, 표수가 0이거나, 아니면 양의 소수 표수를 가지며 프로베니우스 사상자기 동형 사상을 이루는 가환환완전환(完全環, 영어: perfect ring)이라고 한다. (이는 하이먼 배스가 도입한 "완전환" 개념과는 다른 개념이다.)

완전 폐포[편집]

양의 표수 의 체 에 대하여, 를 포함하는 속의 가장 작은 체를 완전 폐포(完全閉包, 영어: perfect closure) 라고 한다. 이는 에 모든 에 대한 제곱근을 첨가하여 얻는다.

보다 일반적으로, 소수 표수 가환환 완전 폐포 를 포함하는 가장 작은 완전환이다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

임의의 표수 의 완전환 환 준동형 에 대하여, 가 되는 환 준동형 가 유일하게 존재한다.

이는 항상 존재하며, 체의 경우와 마찬가지로 모든 제곱근들을 첨가하여 얻는다.

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대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.

완전체가 아닌 체의 예로는 표수가 인 체 에 대한 유리 함수체 가 있다. 의 경우 가 존재하지 않기 때문이다.

바깥 고리[편집]