완전체

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추상대수학에서, 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 이다.

정의[편집]

K에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 완전체라고 하며, 완전체가 아닌 체를 불완전체(영어: imperfect field)라고 한다.

완전 폐포[편집]

양의 표수 p의 체 K에 대하여, K를 포함하는 \bar K 속의 가장 작은 체를 완전 폐포(完全閉包, 영어: perfect closure) K^{p^{-\infty}}라고 한다. 이는 k에 모든 n=1,2,3,\dots에 대한 p^n제곱근을 첨가하여 얻는다.

K^{p^{-\infty}}=K\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{a^{p^{-n}}\colon a\in K\}\right)\subseteq\bar K

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대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.

완전체가 아닌 체의 예로는 표수가 p인 체 K에 대한 유리 함수체 K(x)가 있다. x\in K(x)의 경우 \sqrt[p]x가 존재하지 않기 때문이다.

바깥 고리[편집]