체 (수학)

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추상대수학에서, (體, 독일어: Körper, 프랑스어: corps, 영어: field)는 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고, 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수 구조이다. 모든 체는 가환환이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 체를 연구하는 추상대수학의 분야를 체론(體論, 독일어: Körpertheorie, 프랑스어: théorie des corps,영어: field theory)이라고 한다.

정의[편집]

가환환나눗셈환이다. 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 가환환 (K,+,-,\cdot,0,1)을 체라고 한다.

  • 0\ne1이다. (여기서 0\in K은 체의 덧셈의 항등원, 1\in K은 체의 곱셈의 항등원이다.)
  • 0을 제외한 모든 원소가 가역원이다. 즉, 임의의 a\in K에 대하여, 만약 a\ne0라면 ab=ba=1b\in K가 존재한다.

임의의 체의 기호는 보통 영어: field 필드[*]독일어: Körper 쾨르퍼[*]의 머릿글자를 따서 Fk 또는 K 등으로 쓴다.

체의 준동형으로서의 준동형과 같으며, 체 사이의 환 준동형체의 확대라고 한다. 체의 확대는 항상 단사 함수이다.

성질[편집]

환론적 성질[편집]

모든 체는 다음 조건들을 만족시킨다.

가환환 R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • R는 체이다.
  • R는 정확히 두 개의 아이디얼을 갖는다. (이는 물론 영 아이디얼 (0)과 전체 아이디얼 (1)이다.)
  • R의 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

따라서, 체 K스펙트럼 (=0차원 K-아핀 공간) \operatorname{Spec}K한원소 공간이다.

체 위의 모든 가군들은 자유 가군이며, 이러한 가군을 벡터 공간이라고 한다.

범주론적 성질[편집]

체와 체의 확대범주 \operatorname{Field}가환환의 범주 \operatorname{CRing}충만한 부분 범주이다. 이 범주에서는 이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

집합의 범주로 가는 망각 함자 \operatorname{Field}\to\operatorname{Set}가 존재한다. 다른 대수 구조의 범주와 달리, 망각 함자는 수반 함자를 갖지 않는다. 즉, "자유체"라는 것은 존재하지 않는다. 이는 체의 모임이 대수 구조 다양체를 이루지 않기 때문이다.

체의 범주에서, 모든 사상단사 사상이다. 체의 범주는 연결 범주가 아니며, 연결 성분들은 각 체의 표수 p=0,2,3,5,\dots에 대한, 표수 p의 체들의 범주 \operatorname{Field}_p이다. \operatorname{Field}_p시작 대상유한체 \mathbb F_p (p>0) 또는 유리수체 \mathbb Q (p=0)이다. 끝 대상은 존재하지 않는다.

모형 이론적 성질[편집]

체는 가환환의 부호수 \langle+,\cdot,-,0,1\rangle대수 구조이다. 이 구조가 체를 이루려면, 가환환의 공리에 추가로 다음 성질을 만족시켜야 한다.

\forall a\exists b\colon ab=ba=1

이는 존재 기호 \exists가 사용되었으므로 방정식형 공리가 아니다. 따라서, 체의 모임대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 이에 따라, 체는 대수 구조 다양체의 일반적인 성질(직접곱의 존재, 자유 대수의 존재)들을 공유하지 않는다.

물론, 방정식형 공리에 국한하지 않는다면, 체는 1차 논리로 공리화할 수 있다. 마찬가지로, 완전체대수적으로 닫힌 체 등은 1차 논리로 공리화할 수 있고, "체의 표수p"라는 사실 역시 1차 논리로 공리화할 수 있다. 반면, 어떤 체가 유한체라는 사실은 1차 논리로 공리화할 수 없다. 즉, 유한체의 1차 논리 이론은 무한 모형을 갖는다. 주어진 표수의 대수적으로 닫힌 체의 이론은 모든 비가산 크기에서 유일성(영어: categoricity)을 보인다. 즉, 주어진 표수 및 비가산 크기의 대수적으로 닫힌 체들은 모두 서로 동형이다.

분류[편집]

모든 체 K체의 표수 \operatorname{char}K로 일차적으로 분류된다. 표수 p는 0이거나 소수이다.

모든 체 K는 항상 다음과 같은 체의 확대로 나타낼 수 있다.

K/K_{\text{tr}}/K_0

여기서

특정한 종류의 체들은 완전히 분류가 가능하다. 예를 들어, 모든 유한체집합의 크기에 의하여 완전히 분류되고, 모든 대수적으로 닫힌 체는 표수와 초월 차수에 의하여 완전히 분류된다.

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체의 예로는 다음이 있다.

다음은 체를 이루지 않는 환들이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]