유리 함수층

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대수기하학에서, 유리 함수층(有理函數層, 영어: sheaf of rational functions)는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 이다.

정의[편집]

정역 스킴의 경우[편집]

정역 스킴 위의 유리 함수층 는 다음과 같은 값을 갖는 이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 에 대하여,

즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다.

일반적 스킴의 경우[편집]

임의의 국소환 달린 공간 유리 함수층 는 다음과 같이 정의한다.[1][2]:140–141, §II.6

열린집합 에 대하여, 줄기 로 가는 표준적인 제약 사상

이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.

여기서 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면 위의 준층 를 다음과 같은 국소화로 정의하자.

여기서 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. 위의 유리 함수층 준층 층화이며, 이는 -가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 를 이루지 않을 수 있다.

성질[편집]

줄기[편집]

국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.[1]:205[3]:Lemma 7.1.12b

아핀 스킴의 유리 함수층[편집]

가환환 에 대하여, 전분수환 에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형

이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.[3]:Remark 7.1.14

만약 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.[3]:Lemma 7.1.12b 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

코호몰로지[편집]

국소환 달린 공간 위에는 다음과 같은 아벨 군 짧은 완전열이 존재한다.

여기서 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

  • : 가역 정칙 함수군
  • : 가역 유리 함수군
  • : 카르티에 인자
  • : 카르티에 인자 유군
  • : 피카르 군

[편집]

에 대하여, 0차원 아핀 공간 한원소 공간이며, 이 경우

이다.

에 대하여, 아핀 직선 의 경우,

이다. 즉, 의 계수의 유리 함수들의 체이다.

역사[편집]

알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나,[4]:226–227, Propositions 20.1.1–3 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼(영어: Steven Kleiman)이 1979년에 지적하고 교정하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Kleiman, Steven (1979). “Misconceptions about KX”. 《L’Enseignement Mathématique》 (영어) 25: 203–206. doi:10.5169/seals-50379. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  3. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 1일에 확인함. 
  4. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 32. doi:10.1007/bf02732123. ISSN 0073-8301. MR 0238860. 

외부 링크[편집]